关于Folded-cascode中，input-cascod管子作用的直观分析！

JoyShockley

见以前有人询问此种结构中M4，M5（学名：input cascode）的作用，先单独开一贴分析一下。

结论先行：


1. 为了避免输入端的Cgd1和Cgd2，在输入端造成的大的miller电容，如果前级信号源有内阻，这个内阻配合这个输入端的miller电容造成大极点在输入端。

2. 折叠点（M6，M7的drain端）在低频下是一个高阻0.5ro，但是在零极点分析的时候被当做低阻1/gm。
   

用最直观的方法分析才是好的designer。

首先，我们从折叠点（M6，M7的drain端）开始，从M6,M7drain向上看，看到一个ro；向下看：

a.如果M8，M9drain端向下看的电阻很小的话，则M6，M7drain端向下看的电阻约为1/gm；

b. 但是, 很遗憾，M8，M9drain端向下看的电阻很大为gm*ro*ro，则从M6，M7drain端向下的电阻约为ro（有兴趣可以推导一下）。

故，M6，M7向上向下都看到一个ro，平均电阻ro/2;如果没有 input cascode（M4，M5）相当于，M1，M2的drain端接了一个大电阻（小信号）；会产生严重的miller效应；降低电路速度，引入大极点。

加了M3 M4后，从M1 和M2的drain端往上看，看到一个约为1/gm的电阻，有效减少了，输入管的miller效应（假设从前一级的信号源（图中未画出）是有内阻的）。

简单说，input cascode的作用就是为了减少输入管drain端看到的等效电阻，从而

避免输入端miller效应的大电容，配合前级信号源是有内阻，造成的极点。

参考文献 EE240 2009 2013 Folded-cascode 一章 （EE240 2009 Lecture 12 第50分钟处）

问题2：既然折叠点是高阻，为什么我们在做零极点分析时，却看不到这个高阻配合折叠点的寄生电容产生的极点的呢？

这是因为，在高频时，输出电容近似短路，于是这个点变成低阻点约为1/gm，故折叠点的极点为gm/Cp。详细分析，如下

补充说明：

极点的位置与频率无关，严格小信号分析，次极点的位置应该会和gm，Cp，CL，ro都有关，是一个与他们相关的复杂表达式。

它的大小应该是很靠近gm/Cp，远离1/(roCp)，即使CL和Cp在一个数量级。 实际情况往往CL很大，所以它会更加靠近gm/Cp.

在基本folded-cascode-OTA（无input-cascode结构，无信号源内阻）

主极点约在1/(gm*ro*ro*CL)处，应该都没有疑问吧。那上述结构中的次主极点在哪呢？

   如果进行详细的小信号分析，是肯定可以得到一个非常复杂的次极点表达式的，它和gm，ro，cp，CL 都有关系，大约有四个。

（四个次主极点在M6，7，12，13的drain位置引入，他们地理位置相近，所以大小相近）


   以折叠点为例，这个复杂的表达式所表示的次极点的大小大约是多少？


  1. 假设它离主极点很近，也即，在主极点之后的相距不远的频率处，假设此时，CL的作用还不是很明显（极端时认为CL开路），这时该点的电阻约为ro，电容cp

  我们预估这个复杂的次主极点位置大概在1/（ro*cp）处。

  这样的假设是正确的吗？ 我们来看一下，若它在这个位置，则它是主极点大约gm*ro*（CL/Cp）倍的位置，即使输出端电容CL跟Cp一个量级（实际情况要大的多），那这个倍数也有将近gm*ro(=30-40)倍（以TSMC-0.18工艺L=180nm，NMOS为例）。 这个倍数下，放大器的增益，早就降低好几十倍了，说明这个频率下1/（sCL）的值很小了为ro（与gmroro相比）。所以， 我们把输出端电容处理成开路的做法是错误的。


2. 假设这个极点离主极点很远，是一个高频极点，认为此时CL近似短路，此时从折叠点看到的电阻为（1/gm），电容Cp；

    这个极点在gm/Cp附近；

    它是主点的gmro*gmro*（CL/Cp）倍，假设CL跟Cp在一个数量级，则它主点的gmro*gmro=1600倍数，的确是高频。

    在这个频点放大器增益约为1。也就是说，OTA的输出阻抗的大小为1/gm。

    回过来看，我们的假设是在次极点时，CL近似短路，也即我们假设在这个频点的输出阻抗很小；在这个基础上，我们推到了折叠点的电阻约为1/gm而非ro。然后，我们导出极点位置，发现在这个极点位置下，OTA的输出阻抗确实很小为1/gm。

    自圆其说，类似不动点中f（x）=x，在下一节中会有详细说明。

    于是我们接受这个复杂的主极点的表达式的近似值会靠近gm/Cp。

我不知道我是否准确表述了上面的逻辑，看起来有点循环论证。但这种思路是能否定第一种情况的，即这个极点是不可能在1/（roCp）附近

次极点的复杂表达式的值的位置应该是在1/（ro*Cp）与gm/Cp之间，非常靠近gm/Cp，而且是CL越大，次极点越靠近gm/Cp。

再次补充说明：

想到一种用函数不动点 f（x）=x 进行解释的原理：

问题：我们需要知道在次极点处的输出阻抗的幅值，输出阻抗的幅值=(gmroro并联上（1/sCL）)；由于次极点不知道，所以，这个幅值也不知道。

    假设它是满足方程g（x）=0的根；这个方程肯定存在，但是可能非常复杂。为了求解方程，我们把g（x）=0换成 f（x）=x；

    “f（输出阻抗）= 输出阻抗”

    第一次我们假设x=gmroro，也即认为输出的电容CL，在次极点处完全不影响输出阻抗；在此基础上我们进行一系列推导，发现在这个假设下f（gmroro）=gmroro并联ro=ro，其中ro是此时容抗的幅值。  


  我们的假设离结果很远，于是我们进行第二次迭代（准确叫第二次猜测）；

我们假设在次极点处，CL严重影响输出阻抗幅值。

极端：我们假设在次极点处，输出阻抗为0，也即CL完全短路；在这个基础上我们完成推导f（0）=（1/gm），这里的1/gm是表示的输出阻抗；这个结果已经比上次假设很接近了，所以我们认为此时假设较为合理。

在这样的假设下，我们得到折叠点的极点gm/Cp。、

gmroro大于ro           x大于f（x）

0        小于1/gm       x小于f（x）

实际在次极点的输出阻抗可定在ro与1/gm之间；非常靠近1/gm；

折叠点的等效电阻也应在这两种假设之间（CL断路和短路）；也即ro和1/gm之间；次极点在1/(roCp)与gm/Cp之间，非常靠近gm/Cp。

可用下面这个图来加深理解

另外我们在求解fT的时候，似乎也用到了类似的思想：

我感觉这样的方法，不想你说的这种情况，比较像不动点的情况。

   我们推fT时，假设了在fT时，的输出电流全为gm*vi，实际应是（gm*vi-vi*（s*Cgd））；

   输入电流为s（Cgs+Cgd）*vi；


   两者相等，则fT=gm/（Cgs+Cgd）/2pi；

   然后我们会把这个fT的值回代回去，发现vi*（j*（fT/2pi）*Cgd）相比gm*vi的确可以忽略。

   这也是一种不动思想的求解方程。

aqishisi

如果没有 input cascode（M4，M5）相当于，M1，M2的drain端接了一个大电阻（小信号）；会产生严重的miller效应；降低电路速度，引入大极点。
实际从输入输出传递函数上这个大极点是不存在的，这样分析无意义。

JoyShockley

回复 2# aqishisi


    我说了，这个是在假定前级信号源是有内阻的，这个input cascode就是希望，M1，M2的drain端看到小电阻。减小输入端的miller效应

jiang_shuguo

使用这种结构一般是M1，和M2管非常大。用这种结构后从M4，M5的源级看进去的阻抗一定是1/gm而不是ro（虽然M4 M5漏端看到主抗约ro/2）？

dtt0000

有点道理；
这两个管子还可以1）提高增益；2）减小M6,7Drain端的寄生；3）在给定Ibias的条件下，可以相应的减小输入管的L以优化噪声，同时不会明显降低增益；
当然，牺牲了一些共模输入范围。

JoyShockley

回复 4# jiang_shuguo


    严格分析从M1，M2drain看到的电阻大小应为：（0.5ro+ro）/（1+gm*ro）=1.5/gm。总之，比不加M4，M5要小很多了。

vdslafe

这跟triple cascode 有区别么？

JoyShockley

回复 7# vdslafe


    这种结构，提高不了增益，增益还是gmro的平方；你讲的tripple，增益是gmro的立方

aqishisi

楼主是否可以看一下拉闸为249页，推倒该点阻抗时，电流并不流过恒流源负载，因此从输入输出考虑该点阻抗并非高阻。

JoyShockley

回复 9# aqishisi


    久不看razavi了，谢谢你，刚才找师兄的书要看，发现razavi果然又在乱写了。 razavi的写法，是基于cascode管子的drain端是小电阻的情况，很明显这是他用错了公式导致的。