s=jw 还是 s=a+jw

lifusu

很多学习信号与系统、自动控制理论不是很深入，或者没怎么学过的同学都会产生一个疑问：拉普拉斯变换中，s=a+jw，但是当我们用在电路中计算时，为什么又用s=jw来计算系统的频率特性呢？a跑哪里去了？

首先要明白一点，我们讨论的“频率响应”特性指的是系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况（郑君里《信号与系统》p217），这一前提条件很重要。

假设系统2的传递函数H(s)=Vo(s)/Vi(s)，而Vi(s)是一个单位冲击信号（拉普拉斯变换为1）通过一个系统函数为Vi(s)的系统得到，这时上面的“正弦信号激励”就尤为关键了，要满足讨论的前提条件，那么系统1的传递函数Vi(s)就必须使得输出端产生正弦波，也就是震荡信号，参考郑君里《信号与系统》p211图，得到震荡信号，也即正弦波激励的条件是，传递函数Vi(s)的极点为s=+-jw（处于虚轴上，a=0），也就是说，只有令s=jw时（实际上讨论的都是正频率，负值不考虑在内），系统2的输入端才是不断震荡的正弦信号激励，才符合我们讨论的前提条件。

                        
               

假如，s=a+jw，那么：
当a<0时，系统2的输入将是不断衰减的正弦激励；
当a>0时，系统2的输入将是不断增大的正弦激励；
这两者都不符合讨论的前提条件，所以分析电路时，直接取s=jw即可！

              



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2015-3-24 21:53 上传

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lpf025

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UESTC-ADC

最近也在看这方面，我来谈一下自己的理解。直观的说法，我们在时域中分析的实际电路都能列出一个线性常系数微分方程，但是如果分析电路经常计算微分方程的话，分析将难以继续。而指数信号exp(x)是这类线性常微分方程的特征解，因此如果把信号与表示成虚指数形式的线性组合（虚指数是周期函数，且有单一的频率），方程的分析将变得简单，因此在这个基础上我们建立了傅里叶变化，将时域信号转化到频域去研究（比如说幅频特性中每个频率上的增益，就代表系统对这个频率分量的放大能力）；频谱上的内容可以很好表征系统的特性（比如低通滤波器可以从幅频特性中明显看到通低频阻高频的特性）；但是傅里叶变化在分析系统稳定性和构建系统是还有一些不方便（比如判断系统是否稳定需要判断系统冲击响应是否绝对可积），这时拓展了傅里叶变化的概念，引入拉普拉斯变化（傅里叶变化是拉普拉斯变化在虚轴上的特殊情况），拉普拉斯变化导出的系统函数引入零极点的概念，从而只通过极点的位置就可以判断系统稳定性，且由系统函数通过零极点向量的方法可以很方便的得出频率特性（也就是傅里叶变化得到的结果）。
如有理解上的错误，还请大神支出！

y_potato

各位解释的还是很清楚的，收获颇丰