s=jw 还是 s=a+jw

lifusu

很多学习信号与系统、自动控制理论不是很深入，或者没怎么学过的同学都会产生一个疑问：拉普拉斯变换中，s=a+jw，但是当我们用在电路中计算时，为什么又用s=jw来计算系统的频率特性呢？a跑哪里去了？

首先要明白一点，我们讨论的“频率响应”特性指的是系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况（郑君里《信号与系统》p217），这一前提条件很重要。

假设系统2的传递函数H(s)=Vo(s)/Vi(s)，而Vi(s)是一个单位冲击信号（拉普拉斯变换为1）通过一个系统函数为Vi(s)的系统得到，这时上面的“正弦信号激励”就尤为关键了，要满足讨论的前提条件，那么系统1的传递函数Vi(s)就必须使得输出端产生正弦波，也就是震荡信号，参考郑君里《信号与系统》p211图，得到震荡信号，也即正弦波激励的条件是，传递函数Vi(s)的极点为s=+-jw（处于虚轴上，a=0），也就是说，只有令s=jw时（实际上讨论的都是正频率，负值不考虑在内），系统2的输入端才是不断震荡的正弦信号激励，才符合我们讨论的前提条件。

                        
               

假如，s=a+jw，那么：
当a<0时，系统2的输入将是不断衰减的正弦激励；
当a>0时，系统2的输入将是不断增大的正弦激励；
这两者都不符合讨论的前提条件，所以分析电路时，直接取s=jw即可！

              



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2015-3-24 21:53 上传

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lpf025

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UESTC-ADC

最近也在看这方面，我来谈一下自己的理解。直观的说法，我们在时域中分析的实际电路都能列出一个线性常系数微分方程，但是如果分析电路经常计算微分方程的话，分析将难以继续。而指数信号exp(x)是这类线性常微分方程的特征解，因此如果把信号与表示成虚指数形式的线性组合（虚指数是周期函数，且有单一的频率），方程的分析将变得简单，因此在这个基础上我们建立了傅里叶变化，将时域信号转化到频域去研究（比如说幅频特性中每个频率上的增益，就代表系统对这个频率分量的放大能力）；频谱上的内容可以很好表征系统的特性（比如低通滤波器可以从幅频特性中明显看到通低频阻高频的特性）；但是傅里叶变化在分析系统稳定性和构建系统是还有一些不方便（比如判断系统是否稳定需要判断系统冲击响应是否绝对可积），这时拓展了傅里叶变化的概念，引入拉普拉斯变化（傅里叶变化是拉普拉斯变化在虚轴上的特殊情况），拉普拉斯变化导出的系统函数引入零极点的概念，从而只通过极点的位置就可以判断系统稳定性，且由系统函数通过零极点向量的方法可以很方便的得出频率特性（也就是傅里叶变化得到的结果）。
如有理解上的错误，还请大神支出！

y_potato

各位解释的还是很清楚的，收获颇丰

灵魂沙沙

感谢版主解我疑惑

sea11038

分析系统频率特性只能用s=jw，而通常意义上讲的s=a+jw只是系统的固有属性，是分析系统频率特性后得到的结果，也是频域和时域变换的桥梁。如果用衰减系数大的激励来分析发散系数小的震荡系统就会得到系统稳定的错误结论，用发散系数大的激励来分析衰减系数小的稳定系统也会得到系统不稳定的错误结论，所以本质上不存在用s=a+jw来分析频率特性，有且只有s=jw。

补充内容 (2025-6-27 08:57):
sorry！此处回帖有错误论述，勿信！请看我后边9楼回帖

iver61

謝謝分享~!

AHU_小王

sea11038 发表于 2024-12-15 13:05
分析系统频率特性只能用s=jw，而通常意义上讲的s=a+jw只是系统的固有属性，是分析系统频率特性后得到的结果 ...

这里不太明白，可以再详细解释下吗？

sea11038

AHU_小王 发表于 2025-6-19 20:06
这里不太明白，可以再详细解释下吗？

仔细一想前半句不正确，后半句不完全正确，当时回帖时没过脑子。。。发散系数小的震荡系统始终是震荡的，跟激励没关系，即使激励的衰减系数大也不行，唯一让其稳定的办法就是别去激发它但这是现实不可能的，因为哪怕是微微小的噪声也会让其受激震荡，除非直接不给它供电，那它就是稳定的。对于衰减系数小的稳定系统，用发散系数大的激励它也是稳定的，表现出的不稳定仅仅是对激励的响应，输出发散也是对发散激励的“正确”响应，除非发散过载到系统无法响应(顶到电源或地)了，故这里的不稳定是激励的原因而不是系统的原因。