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本帖最后由 BeiYangMan 于 2015-5-25 22:58 编辑
首先,可以把 拉普拉斯变换和z 变换(生成函数)视为一体,两者都是拉普拉斯提出的。
拉普拉斯作为傅立叶的导师,并不认同复立叶提出的 复立叶变换,直到拉普拉斯去世,傅立叶才正式发表,直到柯西提出了关于极限的严格收敛条件,傅立叶才放心大胆使用它的理论。
从历史的角度来讲,傅立叶变换出现在拉普拉斯变换之后,从形式上说,他们是类似的,但是出发点是不相同的。
拉普拉斯变换:拉普拉斯变换的基本思想其实是源于函数的幂级数分解。
对于因果系统的分析,拉普拉斯变换都是单边的,这点非常重要。
z变换(生成函数)一定程度上可以视为是函数幂级数展开的逆运算,也就是已知系数,求原函数,它是一个累加的形式。当把累加形式变成积分形式,就有了拉普拉斯变换。这是一个自然的过程, 这是也历史,当然最初的形式和信号分析中的形式也有区别。在信号处理中,则通常是先引入对信号的拉普拉斯变换,然后对此信号采样后再进行拉普拉斯变换,得到z变换。很多书本直接给出拉普拉斯变换的形式,其实应该有一些过渡。
傅立叶变换:傅立叶变换的基本思想源于正交分解。
复立叶级数一生下来时也是单边的,当引入复指数信号时,单边变成了双边。
如果说Laplace是从幂级数展开的思想发展出来的拉普拉斯变换,那么傅立叶更加有针对性地研究周期信号的三角级数展开(或者说是分解)。
拉普拉斯变换更多的是针对系统的分析和处理,主要是微分方程(差分方程),冲击响应,传递函数,零点极点和频率响应,稳定性分析。 傅立叶变换更多的是针对信号的分析和处理,主要是频谱分析。 |