关于补码的加法和乘法运算

larlyii · 发表于 2011-5-31 21:44:13

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本帖最后由 larlyii 于 2011-5-31 22:14 编辑

小弟我最近被一个问题纠结好久，就是有符号，无符号数，原码补码之间的运算，比如举个例吧，-6和7，我去算它们之间的加法和乘法。
假设输入数据用8位2进制表示。

首先，-6的原码是10000110，补码是11111010；7的原码是00000111，补码同样（因为是正数）
加法：加出来有9位：100000001，如果我们只取低8位，就是00000001，为十进制的1，答案正确。但是好多书上写的代码都是把加法器的输出扩展了一位的，那就是说，这个数的十进制表示变成了-255，明显不对~

乘法：乘出来有11位：11011010110，直接取的话肯定不对，但是如果只取低8位的话是11010110（补码），即十进制的-42，就正确。但是一般为了避免溢出，我看好多书上都是把乘法器的输出位宽扩展成输入的2倍，那这样输出又和上面的加法同样的由于扩展位宽而出现的错误。

按照以上逻辑，岂不是我设计的模块的输出必须和输入有同样的位宽？但实际情况显然不是，不知这是怎么一回事？

现贴上ModelSim的图为证：

十进制

十进制的

二进制

二进制的

l7951247 · 发表于 2011-5-31 22:45:34

教你一个方法，一个三位和一个4位的有符号数相加，将二者都变成5位的，就是将二者的高位复制，然后相加后结果去掉最高一位，就是结果

JD.WARLOCK · 发表于 2011-5-31 22:46:39

有符号数的加法无视最高位（就是符号位）的溢出，即11111010+00000111=00000001。
无符号数的加法，需要扩展以为，因为最高位可能溢出。
乘法的话，应该是先对2个数的符号位异或，异或的结果作为输出结果的符号位，然后再将乘数和被乘数都正值化，相乘的结果再加上符号位，就是最终的结果了

larlyii · 发表于 2011-6-1 07:57:56

本帖最后由 larlyii 于 2011-6-1 08:06 编辑

回复 2# l7951247

这个原理我知道，但按照这样的方法，我在用FPGA实现的2个数相加时，岂不是就要先把输入的数扩展1位，再通过加法器，然后再把最高位去掉？但我看一般的书上直接就把2个数相加了呀，没有在之前扩展1位。

我主要就是纠结用FPGA实现算术运算和原码补码理论的算术运算之间的联系和差异。因为FPGA根本不知道输入的数是原码或补码，它会直接按照无符号数的加法乘法去操作的。

larlyii · 发表于 2011-6-1 08:04:31

本帖最后由 larlyii 于 2011-6-1 08:07 编辑

回复 3# JD.WARLOCK

你说的加法我懂了，但乘法，你的意思是原码相乘吧？就是符号位和数据位分别处理，所以我觉得原码的乘法更好操作，但是如果我本生FPGA输入的数据就是补码的话，我是不是要先变成原码，然后再按照你说的方法那样去做？但我看很多书上都直接就对输入的2个数相乘就完了，它也没说这个输入输出是补码原码，所以一直比较混乱。

通过仿真我推断出FPGA根本不知道输入的数是原码或补码，它会直接按照无符号数的加法乘法去操作的。

justshuashua · 发表于 2011-6-1 09:07:59

如果想直接写加法进行有符号数的相加，则需要定义成有符号数类型，例如wire signed [7:0] a,b,c；
assign c=a+b;即使位宽不匹配也可以不用关心，综合工具会自动匹配；
如果定义成无符号数，即95语法的，则对有符号数的计算需要手动扩展符号位（即最高位，而不是扩展0）后再进行相加。初学者建议采用手动扩展符号位的方式实现。