关于补码的加法和乘法运算

larlyii

小弟我最近被一个问题纠结好久，就是有符号，无符号数，原码补码之间的运算，比如举个例吧，-6和7，我去算它们之间的加法和乘法。
假设输入数据用8位2进制表示。

首先，-6的原码是10000110，补码是11111010；7的原码是00000111，补码同样（因为是正数）
加法：加出来有9位：100000001，如果我们只取低8位，就是00000001，为十进制的1，答案正确。但是好多书上写的代码都是把加法器的输出扩展了一位的，那就是说，这个数的十进制表示变成了-255，明显不对~

乘法：乘出来有11位：11011010110，直接取的话肯定不对，但是如果只取低8位的话是11010110（补码），即十进制的-42，就正确。但是一般为了避免溢出，我看好多书上都是把乘法器的输出位宽扩展成输入的2倍，那这样输出又和上面的加法同样的由于扩展位宽而出现的错误。

按照以上逻辑，岂不是我设计的模块的输出必须和输入有同样的位宽？但实际情况显然不是，不知这是怎么一回事？

现贴上ModelSim的图为证：

十进制

十进制的

二进制

二进制的

smarthb

学习中…………

leolew

多谢楼主和各位的分享，解决了困惑我好久的问题，受益匪浅！

leolew

   

glace12123 发表于 2018-1-5 21:37
你对有基2补码的理解是错误的。。。。2个N位的有符号数相加，必须各自扩展符号到MSB上形成2个N+1位数相加， ...

感谢，解释的好清楚，解答我的困惑了！

zhanghui110

带符号的乘法运算，符号位异或计算，然后转化为原码用于乘法计算，最后得出的结果再转换为补码

jackstrive

Thanks

yxccc1108

回复 7# dlb05061131

偶然看到你这个文件，解决了设计中困惑很久的一个问题，非常感谢！

小鸟探戈

补充一点，之所以要按照我上面说的原则发明补码，是因为数字电路其实是很蠢的。他并不知道你的数是有符号数还是无符号数，我们需要让电路在进行加法或乘法运算时，不论你给的是有符号数、无符号数、正数或是负数，他的映射规则都一模一样。

小鸟探戈

初学者很容易把补码的意义理解错误，我来试着给你解释一下。
看上面很多人讨论的时候，其实把好几个概念混在一起了。其实我觉得应该分开来讲。
1.补码的意义
其实我理解的补码的意义很简单，就是认为地创造一种二进制编码，使得两个有符号的补码相加或相乘的时候，在位宽能够装得下你的计算数的前提下，可以直接忽略溢出位。
如何能做到这样呢？其实很简单。我们拿加法来举例吧，这样比较简单。
我们假设有一个4比特的二进制数，如果我们要用他来表示有符号数。
比如6应该是0110，那如果我要如何在能满足我前面提到的要求的前提下，来表示-6？
即X+6=0+16。16是2的四次方，既然现在只有四比特，那两个数相加肯定只能再往上溢出1位。如果我们把这个溢出位忽略掉，那就相当于减去了16。所以我们用1010（十）来表示4比特有符号数-6。你可以用补码取反加一的方法去验证每一个数。如果是五比特有符号数，那溢出位忽略掉的就是32了，依此类推。
2.为什么要扩位？
其实扩位跟补码的运算法则没有半毛钱关系的。我上面说了，补码之所以要发明，就是为了两个数在相加时可以直接忽略溢出位。可以直接忽略，那为什么我们平时要扩位呢？
我前面说到了，加法运算的时候，我们需要考虑到数相加之后的你给的位宽能装得下你的结果。比如，一个4比特的有符号数，能表示的范围是-8～7。那如果两个4比特的有符号数相加，范围就是-16～14。这样的范围的数四比特是装不下的，必须要五比特才能装得下。所以为了防止这种我们不期望的溢出发生，就需要在相加之前先扩成五比特。但是如果你这两个数虽然是四比特，但其实你清楚他并不可能把范围用完，比如你只用到了-2～2，那你也可以不用扩位。
总之，作为一个数字电路设计工程师，心里必须要随时有一个很清晰的账本，每一个数的取值范围是多少。你在定义每一个数，在做每一次运算的时候都要确保你能装的下他。
3.如何扩位
当一个数你已经发现了在加法或乘法之后，当前位宽装不下了，那你要如何扩位呢。如果是无符号数或者有符号的正数，那很简单，直接高位补0就行了。
如果是负数，其实也很简单，就是理解上稍微麻烦一点。你可以仔细看我第一条负数的补码的推导过程。如果有一个数-N，四比特表示的方法就是16（2的四次方）-N。你现在要扩成五比特，那就需要表示成32(2的五次方）-N。没错，扩展的过程中，其实就是要加上2的四次方即可。这就是你一直被告知的原则，负数扩位高位补1。
我上面说的原理同样适用于乘法，有兴趣的话你可以自己去推，其实思路都是一样的。了解了这些，相信楼主不会再在理解补码时这么混乱了。

江山无限辉

学些了，谢谢