频率响应中的“频率”严格来说不是指w,而是指jw。输出y(jwt)=H(jw) X exp(jwt),也就是当频率为jw的指数信号输入时,系统的输出为H(jw) X exp(jwt),这是我理解的傅里叶变换对于信号处理的根本意义所在,因为现实的信号都可以写成不同频率的指数信号的线性组合。比如cos(wt)可以写成cos(wt)=0.5exp(jwt)+0.5exp(-jwt),也就是说现实的正弦信号是通过一个正的w作指数的指数信号和一个负的w作指数的指数信号乘以某个系数相加而成的。
是y(t)=H(jw) X exp(jwt)而不是y(jwt)=H(jw) X exp(jwt),这已经又转换成原函数(时域)了,不是楼主所述频率为jw的指数信号输入对应的输出。cos(wt)是一回事,还有sin(wt)呢,两者一并构成傅立叶级数的系数(含有exp(-jwt)的项),且在乘以exp(jwt)后消去了虚数j,又变成了原函数(含有wt而不是jwt的表达式)。傅立叶变换后的表达式更像是原函数的一个“系数(不含t)”,通过分析这个“系数”的特性从而得出原函数的特性。