Numerical Device Simulation

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1 Introduction 1
2 The Poisson equation 3
2.1 Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Gauss' law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Maximum principle for the Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Capacitance coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Conductance coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Grids and discretization 15
3.1 Finite dierences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Finite volume method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Voronoi tessellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Triangular Delaunay grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Discrete Poisson equation on a Delaunay grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 System of equations of the discrete Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Solvers 33
4.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Square matrices and eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.2 Gershgorin circle theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.3 M-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Linear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Iterative solvers for linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2 Newton-Raphson method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Drift-diusion model 49
5.1 Drift-diusion model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Physical models for silicon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Discretization of the drift-diusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Scharfetter-Gummel stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.2 Relaxation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iii
6 Transient problems and stability 63
6.1 Discretization of ordinary dierential equations in the time domain . . . . . 63
6.2 Discretization of partial dierential equations in the time domain . . . . . . . 70
6.2.1 Diusive transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2 Drift-Diusion model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Analysis in the frequency domain 77
7.1 The small-signal DD model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.1 Discretization of the small-signal DD model . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 The cyclostationary case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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derek02

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