极点 零点 之我见

BeiYangMan

刚来，不知道发帖子能不能换点信元，随便说几句，不一定对。

讨论 线性 时不变 的系统，
我讨论这个问题的意义在于，
1 从另外的角度认识 极点零点，而不是局限于RC乘积，-3dB带宽，45度相移，或者前馈产生零点，诸如此类
2 了解一点状态空间的知识对于这种认识会有些帮助，这部分内容一般在 信号与系统 类教材的 最后几章，会涉及到一些矩阵运算。
3 希望斑竹加精，赚点儿信元，下载文献

言归正传
极点
极点是什么？ 本质上它是微分方程的特征根，是微分方程组对应的伴随矩阵（也称作友矩阵 Companion Matrix）的 特征值。
数学上：常系数线性微分方程 -> 特征多项式 -> Companion Matrix -> 特征多项式的根 就是 Companion Matrix 的特征值 ，也是系统的极点。 这些点的位置 决定着系统的最根本的特性。
插一句题外话，高次多项式的求根，一般都是通过求其Companion Matrix 的特征值来完成的。

思路：电路-> 微分方程->特征根 -> 系统极点
        电路-> 状态变量空间 -> 微分方程组 -> 矩阵特征值 -> 系统极点
        电路-> 器件拉氏变换模型 -> 传递函数 -> 使得函数趋于inf的那些根 -> 系统极点

拉氏变换，其实是通过积分变换，跳过了微分方程的建立和求解，这种方法某种程度上不利于极点的理解。
下面只描述一下 前两个思路，
每一个线性时不变系统，都会对应一个微分方程（组）。简单起见，以二阶系统为例，f为输入，y为输出，f 和 x 都是t的函数
“齐次”是指方程中每一项关于未知函数x及其导数y',y'',……的次数都是相等的

y''+by'+cy=gf''+hf'+pf
极点只于其齐次方程有关，齐次方程为
y''+by'+cy=0
对应的微分方程组为，令y=x2，y'=x1
x1'=x2
x2'=-cx1-bx2
矩阵形式
x'=Ax
x=[x1 x2]';
A=[0   1;-c   -b];此矩阵采用matlab的输入格式。
对于RLC的电路系统，通过状态变量的定义，可以得到这样的方程。对于高阶系统，同样可以得到类似的形式。
定义一个矩阵P，和新变量v，有如下关系存在x=Pv
那么可以得到 (Pv)'=A (Pv)  -> v'=inv(P)APv。
如果inv(P)AP 刚好是一个对角阵，那么v可以直接求解，于是x也可以求解了。
注：在数学上，如果利用指数矩阵，可以有更加简洁有效的计算方法，但原理是一致的。
系统的极点，就是对角阵inv(P)AP的元素，也就是 A的特征值。而P的每一列，对应A的特征向量。
矩阵的特征向量是什么，当一个矩阵左乘一个列向量后，其得到的新向量如果方向不变，那么这个向量就特征向量，这是在万千向量中挑选出来的。
举个例子，如果照镜子是一个线性变换，那么与镜面垂直 和 与镜面平行的 向量 ，都是特征向量，与镜面垂直的特征向量 特征值是-1，与镜面平行的特征向量 特征值是+1。
说到这里，再插一句，
信号与系统中， 当激励是幅度为1的复指数信号exp(jwt)时，它的输出是什么？当然也是负指数信号
             y(t)=H(jw)*exp(jwt)
这个表达式很漂亮，既有时域也有频域，一个表达式连接了时域和频域。
从另一个角度来看，把系统看做一个线性操作T，那么有如下的表述
            T(exp(jwt)) = H(jw)*exp(jwt)
          类比 T(x)=lamda*x
exp(jwt)也可以理解为一种广义的特征向量，角频率w就是其方向特征，频率变化，方向就变化。那么特征值是啥？H(jw)就是特征值。可以说线性系统中
      传递函数是特征值的集合，
      exp(jwt)是特征向量向量的集合。

好的，转回到极点的概念，没啥好说的了，其数学本质是微分方程的特征根，是微分方程组对应的伴随矩阵（也称作友矩阵 Companion Matrix）的 特征值。 从物理上看，可以近似的认为是某个节点电阻电容的乘积，很多情况下这种认识只是一种直观的近似的理解。

再说零点
零点
从系统函数，或微分方程组的角度来看，零点无非是多个输入时的一种自然的结果。
零点可以理解为是使传输函数等于0的点，是分子的根。
从数学上说，当微分方程等号右边存在激励函数的导数时，一般会有零点。
y''+by'+cy=gf''+hf'+pf
积分是什么？是一种记忆，记忆在一定程度上就意味着相位的滞后。
如地球上最热的时候不在夏至，而在夏至后一个月左右，这类似于一个电容的充电过程。
导数是什么？是一种预判，预判实际上就意味着相位的超前。如pll的阶跃响应，都存在一个过冲，无论开环PM多大。
存在零点的系统，即使它的极点都在左半平面的实轴上，它的阶跃响应仍然可能存在过冲，为什么？预判过头了呗。

我对零点的分类通常是分为三种
1 jw轴上的零点
2 实轴上的零点
3 非轴上的零点（不讨论）

第一种
jw轴上的零点，是真实的"零点"，具有陷波的作用。
如
---||----与 ----ssss----并联时
导纳为 (sC+1/sL) = (LCs^2+1)/sL。在1/sqrt(LC)的频率上，其导纳为零，相当于导线断路，信号无法通过。
这种并联，某种程度上可以理解为两路信号相加。

第二种
左侧实轴上的零点，其实是伪零点
---||----与 ----xxxx----并联时
导纳为 (sC+g) 。在复的频率-g/C上，其导纳为零。可以认为如果输入信号是exp(-t*g/C)，那么这个信号是无法通过的。
这种并联，某种程度上也可以理解为两路信号相加，只是对于cos(wt)和sin(wt)这样的信号，永远都不会叠加为0。
通常右侧实轴的零点是 有源电路产生的。

零点的意义通常体现在反馈系统中，用于相位补偿。
关于相位补偿，不再赘述。

chenximing

厉害。LZ讲的好复杂。不仅仅是零极点了。看起来比较吃力。基础不好。

kdyldw

太数学了，可不可以物理一点；
太时域了，可不可以频域一点？

BeiYangMan

回复 3# kdyldw
红色文字，满足你的要求。

请再看看我的文字，极端物理和极端频域的解释满大街都是，我没必要重新描述了

我说了
1 从另外的角度认识
极点零点，而不是局限于RC乘积，-3dB带宽，45度相移，或者前馈产生零点，诸如此类
2 了解一点状态空间的知识对于这种认识会有些帮助，这部分内容一般在
信号与系统
类教材的
最后几章，会涉及到一些矩阵运算。

看看下面的文字，难道不能满足你的要求么？

这还要多频域呢？多么漂亮的表达式，线性系统对负指数信号的响应，有时域有频域，同时也可以从特征值和特征向量的角度理解。
y(t)=H(jw)*exp(jwt)


这还要多物理呢？多么直观的解释

积分是什么？是一种对过往的记忆，记忆在一定程度上就意味着相位的滞后。
如地球上最热的时候不在夏至，而在夏至后一个月左右，这类似于一个电容的充电过程。
导数是什么？是一种对未来的预判，预判实际上就意味着相位的超前。如pll的阶跃响应，都存在一个过冲，无论开环PM多大。
存在零点的系统，即使它的极点都在左半平面的实轴上，它的阶跃响应仍然可能存在过冲，为什么？预判过头了呗。

BeiYangMan

回复 3# kdyldw
其实要认识到，通常这里的人说零点 极点 都是默认s 域，
s域 产生极点 无源器件 通常RC比较好理解，但是当RLC都出现时，复极点对出现时，如果只有一对复极点，还可以通过引入一个Q值的概念（无论是C的Q还是L的Q）勉强解释一下，高阶情况怎么办？你如何从物理的角度理解？
你说太时域了，好，那么传输函数的分母怎么来的？ 还不就是微分方程的特征多项式，根儿在 微分方程呢。


如果在推广一下，到z域，你怎么理解 单位圆内 单位圆上的极点？ 还去找电阻电容电感么？
为什么不去看看H(z)的分母到底怎么来的？ 还不是要去看差分方程的特征多项式。

我觉得要横向联系，比较，分析，思考。
如果我也说一些 45度相移，3dB带宽，10倍频20dB滚降，前馈产生一个零点，那我还不如不发呢，因为教科书上说的比我说的清楚多了。

suqiujie88

签到可以得信元的。

jxjxhwx

一次签到40信元

fly2159

太理论了，读了半天，一点有用的信息都没有，，

BeiYangMan

回复 8# fly2159

如果我也说一些 RC乘积，45度相移，3dB带宽，10倍频20dB滚降，前馈产生一个零点，这样就有信息量了，呵呵。
换个角度看问题，就像让一个常年不运动的人做一些瑜伽动作一样，一定会不适应的。
换个角度看问题，哪怕结论是错误的，也没关系，至少说明一直都在思考。这些东西不要急着要结论性的东西，思考和寻求深层次的内在联系也很重要。
物理是直观的，数学能在更高层次的抽象总结和概括。因此简单的东西，一阶二阶，可以从物理的角度解释，复杂的高阶的，需要借助数学去解释，然后再回到物理中去看。他们是相辅相成的。
当你要做一个独特的高阶滤波器，当你要分析一个数模混合系统，当你看到无论pll开环PM多大，其闭环的阶跃响应都有过冲时，你会发现有些认识和理解有时还是有用的。

azeee

好帖子，学习~~