有关于模拟电路中s域的疑问

xyf1204

我们都知道在电路分析中，我们都将器件变换到s域（拉普拉斯变换）中去分析。那为什么最后将电路的传递函数化做成s域的表达时候，在求信号的频率响应特性中，我们往往会让s=sigma+jw中的sigma置于零呢？那这样的话，岂不是对原电路进行的就是傅里叶变换了，没有体现中拉普拉斯变换中的sigma（即衰减因子）？为什么最后称之为s域变换而不是什么傅里叶变换呢？

超高校级摸鱼王

其实就是要做傅里叶变换啦，但傅里叶变换只是拉普拉斯变换的一种特殊情况！

我们实际上只研究将感兴趣的信号分解为频谱上的正弦信号，而不会去把信号分解为指数衰减或指数增长的正弦信号。之所以拉普拉斯变换要加衰减因子，实际上是为了研究系统传递函数的稳定性（或者理解为收敛性），看看系统在输入一个指数调幅的正弦信号时响应如何

如果我们输入一个指数增长的正弦信号，拉普拉斯变换仍收敛（极点都在左半平面），那么输入一个不增长也不衰减的正弦信号肯定收敛啦（这就对应傅里叶变换），于是我们知道sigma=0，即傅里叶变换是有意义的，于是得出此时系统的正确的传递函数，然后用传函计算频率响应

如果我们输入一个已经被指数衰减的正弦信号，系统冲激响应的拉普拉斯变换都不收敛，可想而知，输入一个不衰减的正弦信号，系统的输出结果的傅里叶变换不可能收敛，于是我们知道系统是不稳定的

总结：我们在电路里研究的基本上都是经典的线性时不变系统的频率响应，即系统冲激响应的傅里叶变换；但有些系统输入冲激时输出结果的傅里叶积分不绝对收敛，因此引入拉普拉斯变换中的衰减因子来研究系统的收敛域（即稳定性），如果sigma=0处于收敛域内，意味着傅里叶变换是有效的，否则傅里叶积分不收敛，1/(jw-5)之类的传递函数没有意义

以上是我个人的理解，希望各位指正

acocacol

插眼围观，很考信号系统的基础知识，二楼说的挺好了

xyf1204

超高校级摸鱼王 发表于 2023-2-21 23:06
其实就是要做傅里叶变换啦，但傅里叶变换只是拉普拉斯变换的一种特殊情况！

我们实际上只研究将感兴趣的信 ...

谢谢！

xyf1204

超高校级摸鱼王 发表于 2023-2-21 23:06
其实就是要做傅里叶变换啦，但傅里叶变换只是拉普拉斯变换的一种特殊情况！

我们实际上只研究将感兴趣的信 ...

请问我可以理解为在模拟电路的实际工程应用中，对于绝大多数（几乎所有）信号都能够满足傅里叶变换的条件，所以在电路的实际应用中我们基本把sigma置零，可以这么理解吗（因为不需要一个衰减因子去衰减信号）？

敬山一休

围观一下

xyf1204

那比如我还有一个疑问，就是假设我对一个电容进行s域分析，最后得出电容的阻抗为1/sC，那这个时候我把s=sigma+jw代入的，理论上我能给这个sigma任意赋值都不会影响最后的分析结果。那这样为什么电容的阻抗不会是1/[(sigma+jw)C]呢，而是我们一直在教科书上所学到的1/jwC

超高校级摸鱼王

xyf1204 发表于 2023-2-23 15:06
请问我可以理解为在模拟电路的实际工程应用中，对于绝大多数（几乎所有）信号都能够满足傅里叶变换的条件 ...

不对，电路领域里我们用拉普拉斯变换通常都是在研究系统的频率响应特性，而不是某个特定的信号（研究某个特定信号的频率成分的场景，是ADC输出频谱分析之类的应用）。所以就像我上面帖子里提到的，加入衰减因子是为了研究系统传递函数的收敛域，进而帮助我们判断这个系统会不会在正弦输入的时候收敛（傅里叶变换是否有意义）


比如图片里这个例子，a>0的时候是一个正反馈，容易求出这个系统的传递函数为Vout/Vin(s)=a/(s-a), 所以我们知道这个系统的拉普拉斯变换只有在sigma>a的时候才会收敛，即只有给正弦乘上一个衰减速度超过e^(-5t)的因子，Vout输出才不会趋向无穷大，拉普拉斯积分才能绝对收敛，这个传递函数的表达式才有意义。

所以，关键在于系统，和系统的传递函数（系统冲激响应的拉普拉斯变换）

超高校级摸鱼王

超高校级摸鱼王 发表于 2023-2-23 19:43
不对，电路领域里我们用拉普拉斯变换通常都是在研究系统的频率响应特性，而不是某个特定的信号（研究某个 ...

数学上考虑这个系统，输入一个sigma<5的信号会导致输出趋向于无穷大；实际电路中由于积分器摆幅的限制，整个电路的工作状态将会改变，输出将会振荡，因此我们要通过拉氏变换分析系统的收敛域和稳定性，避免出现输出振荡，电路失去功能的情况

超高校级摸鱼王

xyf1204 发表于 2023-2-23 17:14
那比如我还有一个疑问，就是假设我对一个电容进行s域分析，最后得出电容的阻抗为1/sC，那这个时候我把s=sig ...

你可以回忆一下阻抗的定义；


首先线性时不变系统有一个比较神奇的性质：输入一个复指数信号e^(sigma+jw)t，LTI系统H的输出一定等于C*e^(sigma+jw)t，C是一个复数域上的常数；也就是说复指数信号e^(sigma+jw)t是系统H的特征向量，常数C是对应这个特征向量的特征根（这个性质其实也很好理解，因为d e^(at)/dt = a*e^(at) ）。由于每个(sigma, w)对都对应一个C，我们把sigma+jw合起来称作s，每个s对应的C称为H(s)，这就是系统传递函数

所以，输入一个信号e^(sigma+jw)t，输出只是把这个信号的幅值变为原来的magnitude(H(sigma+jw))倍，相位加上phase(H(sigma+jw))。具体到电容，以两端电压为输入，同方向规定的电流为输出，其（从微分方程得出的）传递函数1/sC就是说输入一个信号e^(sigma+jw)t，输出电流的幅值为1/(C*sqrt(w^2+sigma^2))，附加相位为-arctan(w/sigma)。和我们通常知道的电容的电压相位落后电流相位90度不太一样对吧，其实就是因为加入sigma的缘故。反过来说，我们一般只关心纯正弦信号在电容上的响应，所以把sigma略去了，但对于一个任意的复指数信号，电容的阻抗为1/C(sigma+jw)

以上都可以在奥本海默《信号与系统》中学习到，希望对你有帮助