线性时变系统数学模型公式定义

么得头发

关于线性系统的定义我的推导过程如下：
但是我在一书中看到对于线性系统定义如下，与我的推导有一点不一样，对于该表达式该如何直观理解呢？恳求大家不吝赐教

截图来源：
《Systematic modeling and analysis of telecom frontends and their building blocks》，W. Sansen
在论坛上能搜到，我就不上传啦

CWBBest

(3.24) 的理解：正如前文所说的，在t时刻输出y由输入u的过去所有状态决定。在过去的每一个瞬时状态u(t-τ)，u对输出的瞬时贡献为h(t,τ)。“而过去所有状态”体现在τ从0至+∞的积分。

楼主和书上公式的差异应该体现在h(t,τ)。对于同一个系统，你们的h(t,τ)表达式肯定是不一样的。至于不一样在哪里，我可能想不清楚了。楼主可以思考一下，到时候回复我，让我也学习一下。

么得头发

CWBBest 发表于 2021-4-5 00:03
(3.24) 的理解：正如前文所说的，在t时刻输出y由输入u的过去所有状态决定。在过去的每一个瞬时状态u(t-τ) ...

感谢您能够仔细阅读并思考我的问题，我也在您的启发下继续想了下，并把我的想法写了下来，和您一起分享下，有不足之处，请多指正。

CWBBest

么得头发 发表于 2021-4-5 12:18
感谢您能够仔细阅读并思考我的问题，我也在您的启发下继续想了下，并把我的想法写了下来，和您一起分享下 ...

写的非常详细。第一点我觉得您分析的完全正确。

关于第二点，我没太看明白。但是这里我可以补充一下我对两个h(t,τ)的理解。为了方便叙述，这里暂时用离散时间信号与系统的表示方法说明问题。Σk代表对变量k从-∞至+∞求和。

对于离散时间信号与系统，与所讨论的两种表达式对应的写法为：


假设x(n)波形如下：


对于第一种情况：


对于k<-1以及k>1，与x(k)相乘均为零；

而对于第二种情况：


对于不同的n，所保留的求和项不同。

任意观察几个特例：


以及



可以总结出对于此x(n)，h1(t,τ)与h2(t,τ)的关系：

其中k=-1,0,1。

至此验证了我之前的回复“你们的h(t,τ)表达式肯定是不一样的”，并且给出了哪里不一样的解答。

上官轩晖

线性时变系统应该是积分项内应该是h(t-τ,τ)u(τ)dτ ，因为信号u(τ)dτ(可看作冲激信号)在t时刻的响应应该跟系统响应信号h(t,τ)之间的时间差t-τ有关。所以正常推导你跟书中的应该只是错了一个变量替换τ=t-τ而已。

么得头发

嗯嗯，对的，基本上都理解啦，谢谢大家