如何求解一元五次方程得到电路的零极点

wjx197733

    我现在在搞一个Capless LDO，分析小信号方程的时候，画出小信号方程如下：
发现这个方程有5个节点，分别是V0、V1、V2、V3和V4，因此求出V0/Vi的方程的分子和分母分别是一元四次方程和一元五次方程，如下格式：

（1+a1*s+a2*s^2+a3*s^3+a4*s^4)/（1+b1*s+b2*s^2+b3*s^3+b4*s^4+b5*s^5)
相请教大家一下，这个方程如何化简成如下格式？
（1+A1*s+A2*s^2)*(1+s/z1)*(1+s/z2)/[(1+B1*s+B2*s^2)*(1+s/p1)*(1+s/p2)]


注明：这个小信号电路来自论文《A capacitor-free CMOS low-dropout regulator with damping-factor-control frequency compensation》的图3。不过论文中的公式6显示小信号电路的分母应该是一个一元三次方程，而不是一元五次方程

castrader

我觉得你可以先算出闭环反馈那部分的环路增益，然后拆环（原则是电容按照米勒定理计算，第一个点乘A倍，而后面那个点按照原电容算），这样可以简化一下

wjx197733

   

castrader 发表于 2020-9-1 09:45
我觉得你可以先算出闭环反馈那部分的环路增益，然后拆环（原则是电容按照米勒定理计算，第一个点乘A倍，而 ...

这种方法我也尝试过。问题是按照米勒定理乘以增益A，这个A是常数吗？是不是也与频率有关系？如果考虑A与频率相关，小信号方程岂不更复杂了？

castrader

可以再简洁一点，估算出各个节点的极点值，在极点之下的频率就不考虑增益衰减问题了

sea11038

Gray的模拟集成电路的分析与设计（中文版第四版），Page616，9.4.5嵌套式密勒补偿，里边有关于此类方程简化计算的过程，值得深入学习理解。多极点系统主要还是主、次极点比较关键，估算这两个极点基本可以定性和大体定量了，高频极点的影响一般可以忽略，如果需要精确计算只能借助软件程序了。

wjx197733

   

sea11038 发表于 2020-9-1 10:39
Gray的模拟集成电路的分析与设计（中文版第四版），Page616，9.4.5嵌套式密勒补偿，里边有关于此类方程简化 ...

您提到的中文第四版我没看过，但我看过第五版（英文版）。其中的第七章和第九章提到了零极点的求解，不过最高阶是三阶。主要是采用极点分裂的方法，前提是极点间的距离很大。对于我提到的这个LDO，除了主机点和次极点外，我还是希望能够近似得到其它极点的大小，以便更加精确地指导设计。

YyuanRTs

零极点的计算式推到后面都有大量简化的。你可以参考电路里的已知零级点先把他们提出来，再按数量级省略一点参数，否则是推不出来的。结果是能和书上对上的

wjx197733

   

YyuanRTs 发表于 2020-9-1 14:01
零极点的计算式推到后面都有大量简化的。你可以参考电路里的已知零级点先把他们提出来，再按数量级省略一点 ...

麻烦您看一下我的计算过程：
对于（1+b1*s+b2*s^2+b3*s^3+b4*s^4+b5*s^5)，先提取（1+b1*s）近似得到（1+b2/b1*s+b3/b1*s^2+b4/b1*s^3+b5/b1*s^4)，然后提取（1+b2/b1*s），近似得到（1+b3/b2*s+b4/b2*s^2+b5/b2*s^3)

不知道上述过程是否与您的思路一致？

saiaoying

1. 正如任总所述，需要极度重视基础科学：数学+物理+化学！！！微电子也不例外，同样严重依赖这些基础科学；
2. 选对方向和披荆斩棘都很重要，数学决定一切；
3. 引用一段百度的论述，请笑纳。
破碎的梦wS5：
16 世纪时，意大利2113数学家塔塔利亚和卡当等5261人，发现了一元三次方程的4102求根公式。这个公1653式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
大约三百年之后，在1825年，挪威学者阿贝尔（Abel）终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是著名的阿贝尔定理。

wjx197733

   

saiaoying 发表于 2020-9-1 19:28
1. 正如任总所述，需要极度重视基础科学：数学+物理+化学！！！微电子也不例外，同样严重依赖这些基础科学 ...

我认为理论研究是严谨的，但是工程研究是可以近似的，就像求解二次方程的零极点那样，完全可以假设极点相隔很远。所以我认为，从工程角度讲，五次方程是可以有解的。这就是工程师与科学家的区别。