Principles Of Digital Communications(EPFL)

kevinwjs

1 Introduction and Objectives 1
2 Receiver Design for Discrete-Time Observations 9
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Binary Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 m-ary Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 The Q Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Receiver Design for Discrete-Time AWGN Channels . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Binary Decision for Scalar Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Binary Decision for n-Tuple Observations . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 m-ary Decision for n-Tuple Observations . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Irrelevance and Sucient Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Error Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Union Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Union Bhattacharyya Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.A Facts About Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.B Densities After Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.C Gaussian Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.D A Fact About Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.E Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii CONTENTS
2.F Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Receiver Design for the Waveform AWGN Channel 81
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Gaussian Processes and White Gaussian Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Observables and Sucient Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 The Binary Equiprobable Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1 Optimal Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.2 Receiver Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.3 Probability of Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4 The m-ary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.A Rectangle and Sinc as Fourier Transform Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.B Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 Signal Design Trade-Os 113
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Isometric Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Isometric Transformations within a subspace W . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2 Energy-Minimizing Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.3 Isometric Transformations from W to W0
. . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Time Bandwidth Product Vs Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Examples of Large Signal Constellations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.1 Keeping BT Fixed While Growing k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.2 Growing BT Linearly with k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.3 Growing BT Exponentially With k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Bit By Bit Versus Block Orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.A Isometries Do Not Aect the Probability of Error . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.B Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129CONTENTS iii
5 Controlling the Spectrum 135
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 The Ideal Lowpass Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Generalization Using Nyquist Pulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5 Summary and Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.A Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.B Sampling Theorem: Fourier Series Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.C The Picket Fence Miracle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.D Sampling Theorem: Picket Fence Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.E Square-Root Raised-Cosine Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.F Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Convolutional Coding and Viterbi Decoding 155
6.1 The Transmitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2 The Receiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3 Bit-Error Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.1 Counting Detours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3.2 Upper Bound to Pb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7 Complex-Valued Random Variables and Processes 183
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Complex-Valued Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 Complex-Valued Random Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4 Proper Complex Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Relationship Between Real and Complex-Valued Operations . . . . . . . . . . 188
7.6 Complex-Valued Gaussian Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.A Densities after Linear transformations of complex random variables . . . . . . 192iv CONTENTS
7.B Circular Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.C On Linear Transformations and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.C.1 Linear Transformations, Toepliz, and Circulant Matrices . . . . . . . . 193
7.C.2 The DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.C.3 Eigenvectors of Circulant Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.C.4 Eigenvectors to Describe Linear Transformations . . . . . . . . . . . . 195
7.C.5 Karhunen-Loeve Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.C.6 Circularly Wide-Sense Stationary Random Vectors . . . . . . . . . . . 197
7.D Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8 Passband Communication via Up/Down Conversion 199
8.1 Baseband-Equivalent of a Passband Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2 Up/Down Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3 Baseband-Equivalent Channel Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

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