！！Scientific Computing with MATLAB and Octave——2006

wodeccbp · 发表于 2009-7-9 07:33:27

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Scientific Computing with MATLAB and Octave——2006

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wodeccbp · 发表于 2009-7-9 07:35:14

目录：

Contents
1 What can’t be ignored . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 How we represent them . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 How we operate with floating-point numbers . . . . . 4
1.2 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Real functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 The zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Integration and differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 To err is not only human . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Talking about costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 The MATLAB and Octave environments . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 The MATLAB language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.1 MATLAB statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Programming in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.3 Examples of differences between MATLAB
and Octave languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Nonlinear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1 The bisection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 The Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 How to terminate Newton’s iterations . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 The Newton method for systems of nonlinear
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Fixed point iterations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 How to terminate fixed point iterations . . . . . . . . . 55
XII Contents
2.4 Acceleration using Aitken method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Algebraic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.1 H¨orner’s algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.2 The Newton-H¨orner method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Approximation of functions and data . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1 Lagrangian polynomial interpolation . . . . . . . . . . . . 75
3.1.2 Chebyshev interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3 Trigonometric interpolation and FFT . . . . . . . . . . . 81
3.2 Piecewise linear interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Approximation by spline functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 The least-squares method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Numerical differentiation and integration . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Approximation of function derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1 Midpoint formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.2 Trapezoidal formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.3 Simpson formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Interpolatory quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Simpson adaptive formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Linearsystems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 The LU factorization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 The pivoting technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 How accurate is the LU factorization? . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4 How to solve a tridiagonal system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5 Overdetermined systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6 What is hidden behind the command . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.7 Iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.7.1 How to construct an iterative method . . . . . . . . . . . 146
5.8 Richardson and gradient methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.9 The conjugate gradient method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.10 When should an iterative method be stopped? . . . . . . . . . 156
5.11 To wrap-up: direct or iterative? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.12 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Contents XIII
6 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1 The power method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1.1 Convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2 Generalization of the power method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 How to compute the shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.4 Computation of all the eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.5 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7 Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.1 The Cauchy problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Euler methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.1 Convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3 The Crank-Nicolson method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 Zero-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.5 Stability on unbounded intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.5.1 The region of absolute stability . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.5.2 Absolute stability controls perturbations . . . . . . . . 205
7.6 High order methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.7 The predictor-corrector methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.8 Systems of differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.9 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.9.1 The spherical pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.9.2 The three-body problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.9.3 Some stiff problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.10 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8 Numerical methods for (initial-)boundary-value
problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.1 Approximation of boundary-value problems . . . . . . . . . . . . 240
8.1.1 Approximation by finite differences . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.2 Approximation by finite elements . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.3 Approximation by finite differences
of two-dimensional problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.4 Consistency and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.2 Finite difference approximation of the heat equation . . . . 253
8.3 The wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.3.1 Approximation by finite differences . . . . . . . . . . . . . 260
8.4 What we haven’t told you . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
XIV Contents
9 Solutions of the exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.1 Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2 Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.3 Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.4 Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.5 Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.6 Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.7 Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.8 Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

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