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Digital Signal Processing Digital Signal Processing An Experimental Approach_2008
Digital Signal Processing An Experimental Approach.part1.rar
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Digital Signal Processing An Experimental Approach.part2.rar
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Contents
Part I The Analysis of Discrete-time Signals
1 Understanding Sampling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 The Sample-and-hold Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 The Ideal Sampler in the Frequency Domain . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Representing the Ideal Sampler Using Complex
Exponentials: A Simple Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Representing the Ideal Sampler Using Complex
Exponentials: A More Careful Approach . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 The Action of the Ideal Sampler in the Frequency
Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Necessity of the Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 An Interesting Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 The Net Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Undersampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 The Report . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Signal Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 The Report . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Time-limited Functions Are Not Band-limited . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 A Condition for Analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Analyticity Implies Lack of Compact Support . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 The Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
x Contents
3.5 The Best Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Fourier Analysis and the Discrete Fourier Transform . . . . . . 29
4.1 An Introduction to the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . 29
4.2 Two Sample Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Some Properties of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 The Fast Fourier Transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 A Hand Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Fast Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7 MATLAB, the DFT, and You . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.8 Zero-padding and Calculating the Convolution . . . . . . . . . . . . . 39
4.9 Other Perspectives on Zero-padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.10 MATLAB and the Serial Port . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.11 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Windowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 The Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 The Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Some Standard Window Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.1 The Rectangular Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.2 The Triangular Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 The Raised Cosine Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5 A Remark on Widths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Applying a Window Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 A Simple Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 MATLAB’s Window Visualization Tool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.9 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Signal Generation with the Help of MATLAB . . . . . . . . . . . . . 53
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 A Simple Sinewave Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 A Simple White Noise Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 The Spectral Analysis of Random Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1 The Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 The Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Warm-up Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Contents xi
Part II Analog to Digital and Digital to Analog Converters
8 The General Structure of Sampled-data Systems . . . . . . . . . . 67
8.1 Systems for Spectral Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Systems for Implementing Digital Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 The Operational Amplifier: An Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 The Unity-gain Buffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3 Why the Signal is Fed Back to V− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 The “Golden Rules” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.5 The Inverting Amplifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10 A Simple Digital to Analog Converter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1 The Digital to Analog Converter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Practical Difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.3 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11 The Binary Weighted DAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.1 The General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12 The R-2R Ladder DAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.2 The Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13 The Successive Approximation Analog to Digital Converter 89
13.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
13.2 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13.3 The Sample-and-hold Subsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14 The Single- and Dual-slope Analog to Digital Converters . . 93
14.1 The Single-slope Converter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.2 Problems with the Single-slope A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.3 The Dual-slope A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.4 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
14.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
xii Contents
15 The Pipelined A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.2 The Fully Pipelined A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
15.3 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
16 Resistor-chain Converters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
16.1 Properties of the Resistor Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
16.2 The Resistor-chain DAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
16.3 The Flash A/D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
16.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17 Sigma–Delta Converters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
17.2 The Sigma–Delta A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
17.3 Sigma–Delta A/Ds, Oversampling, and the Nyquist Criterion 112
17.4 Sigma–Delta DACs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
17.5 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Part III Digital Filters
18 Discrete-time Systems and the Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . 117
18.1 The Definition of the Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
18.2 Properties of the Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
18.2.1 The Region of Convergence (ROC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
18.2.2 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
18.2.3 Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
18.2.4 Multiplication by k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
18.3 Sample Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
18.3.1 The Transform of the Discrete-time Unit Step Function 120
18.3.2 A Very Similar Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
18.3.3 The Z-transforms of Two Important Sequences . . . . . . . 121
18.3.4 A Two-sided Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.4 Linear Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.5 The Impulse Response and the Transfer Function . . . . . . . . . . . 123
18.6 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.7 The Inverse Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.7.1 Inversion by Contour Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.7.2 Inversion by Partial Fractions Expansion . . . . . . . . . . . . 125
18.7.3 Using MATLAB to Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
18.8 Stability of Discrete-time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
18.9 From Transfer Function to Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . 128
18.10 The Sinusoidal Steady-state Response of Discrete-time
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Contents xiii
18.11 MATLAB and Linear Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . 132
18.11.1 Individual Commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18.11.2 The ltiview Command . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
18.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19 Filter Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
19.1 Finite Impulse Response Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
19.2 Infinite Impulse Response Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
19.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
20 When to Use C (Rather than Assembly Language) . . . . . . . . . 143
20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
20.2 A Simple Low-pass Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
20.3 A Comparison with an RC Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
20.4 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
20.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
21 Two Simple FIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
21.2 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
21.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
22 Very-narrow-band Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
22.1 A Very Simple Notch Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
22.2 From Simple Notch to Effective Bandpass . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
22.3 The Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
22.4 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
23 Design of IIR Digital Filters: The Old-fashioned Way . . . . . . 155
23.1 Analog Filter Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
23.2 Two Simple Design Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
23.3 Why We Always Succeed in Our Attempts at Factoring . . . . . 159
23.4 The Bilinear Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
23.5 The Passage from Analog Filter to Digital Filter . . . . . . . . . . . . 161
23.6 MATLAB and the Bilinear Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
23.7 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
23.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
24 New Filters from Old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
24.1 Transforming Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
24.2 Functions that Take the Unit Circle into Itself . . . . . . . . . . . . . . 165
24.3 Converting a Low-pass Filter into a High-pass Filter . . . . . . . . 167
24.4 Changing the Cut-off Frequency of an Existing Low-pass Filter168
24.5 Going from a Low-pass Filter to a Bandpass Filter . . . . . . . . . . 170
24.6 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
xiv Contents
24.7 The Report . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
24.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
25 Implementing an IIR Digital Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
25.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
25.2 The Direct Form I Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
25.3 The Direct Form II Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
25.4 Trouble in Paradise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
25.5 The Solution: Biquads. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
25.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
26 IIR Filter Design Using MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
26.1 Individual Commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
26.2 The Experiment: Part I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
26.3 Fully Automatic Filter Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
26.4 The Experiment: Part II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
26.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
27 Group Delay and Phase Delay in Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
27.1 Group and Phase Delay in Continuous-time Filters . . . . . . . . . 185
27.2 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
27.3 A MATLAB Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
27.4 Group Delay in Discrete-time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
27.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
28 Design of FIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
28.1 FIR Filter Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
28.2 Symmetric FIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
28.3 A Comparison of FIR and IIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
28.4 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
28.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
29 Implementing a Hilbert Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
29.1 An Introduction to the Hilbert Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
29.2 Problems and Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
29.3 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
29.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
30 The Goertzel Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
30.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
30.2 First-order Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
30.3 The DFT as the Output of a Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
30.4 Comparing the Two Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
30.5 The Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
30.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
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