数学指南-实用数学手册埃伯哈德蔡德勒 科学出版社 李文林

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目录

译者序第二版前言第一版前言使用说明   引言.......................................................................... 1

第0 章公式、图和表....................................................... 3

0.1 初等数学中的基本公式.............................................. 3

0.1.1 数学常数...................................................... 3

0.1.2 量角.......................................................... 5

0.1.3 平面图形的面积与周长........................................ 7

0.1.4 立体图形的体积与表面积..................................... 10

0.1.5 正多面体的体积与表面积..................................... 12

0.1.6 n 维球的体积与表面积....................................... 13

0.1.7 平面解析几何学中的基本公式................................ 14

0.1.8 空间解析几何学中的基本公式................................ 23

0.1.9 幂、根与对数................................................ 24

0.1.10 初等代数公式............................................... 26

0.1.11 重要不等式................................................. 34

0.1.12在行星运动中的应用——数学在太空中的一次胜利........... 38

0.2 初等函数及其图示.................................................. 42

0.2.1 函数的变换.................................................. 44

0.2.2 线性函数..................................................... 46

0.2.3 二次函数..................................................... 46

0.2.4 幂函数....................................................... 48

0.2.5 欧拉e 函数.................................................. 48

0.2.6 对数......................................................... 50

0.2.7 一般指数函数................................................ 51

0.2.8 正弦与余弦.................................................. 52

0.2.9 正切与余切.................................................. 58

0.2.10双曲函数sinhx和coshx.................................. 61

0.2.11双曲函数tanhx和cothx.................................. 63

x 目录

0.2.12 反三角函数................................................. 64

0.2.13 反双曲函数................................................. 66

0.2.14 多项式...................................................... 68

0.2.15 有理函数................................................... 69

0.3数学与计算机——数学中的革命.................................... 73

0.4 数理统计表与标准过程............................................. 74

0.4.1测量(试验)序列的最重要的试验数据........................ 74

0.4.2 理论分布函数................................................ 76

0.4.3 正态分布检验................................................ 78

0.4.4 测量序列的统计计算......................................... 79

0.4.5 两个测量序列的统计比较..................................... 79

0.4.6 数理统计中的表.............................................. 82

0.5 特殊函数值表...................................................... 97

0.5.1Γ函数Γ(x)和1/Γ(x)....................................... 97

0.5.2柱函数(也称贝塞尔函数).................................... 98

0.5.3球函数(勒让德多项式)...................................... 102

0.5.4 椭圆积分................................................... 103

0.5.5 积分三角函数与积分指数函数............................... 105

0.5.6 菲涅耳积分................................................. 107

2

0.5.7 函数.x e tdt................................................107

0.5.8 角度向弧0度的转化.......................................... 108

0.6不大于4000的素数表............................................. 109

0.7 级数与乘积公式................................................... 110

0.7.1 特殊级数................................................... 110

0.7.2 幂级数...................................................... 113

0.7.3 渐近级数................................................... 123

0.7.4 傅里叶级数................................................. 126

0.7.5 无穷乘积................................................... 131

0.8 函数的微分表..................................................... 132

0.8.1 初等函数的微分............................................. 132

0.8.2 单变量函数的微分法则...................................... 134

0.8.3 多变量函数的微分法则...................................... 136

0.9 积分表............................................................ 138

0.9.1 初等函数的积分............................................. 138

0.9.2 积分法则................................................... 140

目录

0.9.3 有理函数的积分............................................. 143

0.9.4 重要代换................................................... 144

0.9.5 不定积分表................................................. 148

0.9.6 定积分表................................................... 182

0.10 积分变换表...................................................... 187

0.10.1 傅里叶变换................................................ 187

0.10.2 拉普拉斯变换.............................................. 198

0.10.3 Z 变换.................................................... 210

第1 章分析学............................................................214

1.1 初等分析.......................................................... 214

1.1.1 实数........................................................ 214

1.1.2 复数........................................................ 221

1.1.3 在振荡上的应用............................................. 226

1.1.4 对等式的运算............................................... 227

1.1.5 对不等式的运算............................................. 229

1.2 序列的极限....................................................... 231

1.2.1 基本思想................................................... 231

1.2.2实数的希尔伯特(Hilbert)公理.............................. 232

1.2.3 实数序列................................................... 235

1.2.4 序列收敛准则............................................... 239

1.3 函数的极限....................................................... 242

1.3.1 一个实变量的函数.......................................... 242

1.3.2 度量空间和点集............................................. 248

1.3.3 多变量函数................................................. 253

1.4 一个实变量函数的微分法.......................................... 256

1.4.1 导数........................................................ 256

1.4.2 链式法则................................................... 258

1.4.3 递增函数和递减函数........................................ 259

1.4.4 反函数...................................................... 261

1.4.5 泰勒定理和函数的局部行为................................. 263

1.4.6 复值函数................................................... 273

1.5 多元实变函数的导数.............................................. 274

1.5.1 偏导数...................................................... 274

1.5.2 弗雷歇导数................................................. 276

1.5.3 链式法则................................................... 279

1.5.4 对微分算子的变换的应用.................................... 281

xii 目录

1.5.5 对函数相关性的应用........................................ 284

1.5.6 隐函数定理................................................. 285

1.5.7 逆映射...................................................... 287

1.5.8 n 阶变分与泰勒定理........................................ 289

1.5.9 在误差估计上的应用........................................ 290

1.5.10 弗雷歇微分................................................ 292

1.6 单实变函数的积分................................................. 303

1.6.1 基本思想................................................... 303

1.6.2 积分的存在性............................................... 308

1.6.3 微积分基本定理............................................. 309

1.6.4 分部积分法................................................. 310

1.6.5 代换........................................................ 311

1.6.6 无界区间上的积分.......................................... 313

1.6.7 无界函数的积分............................................. 314

1.6.8 柯西主值................................................... 315

1.6.9 对弧长的应用............................................... 316

1.6.10 物理角度的标准推理....................................... 317

1.7 多实变量函数的积分.............................................. 318

1.7.1 基本思想................................................... 318

1.7.2 积分的存在性............................................... 327

1.7.3 积分计算................................................... 329

1.7.4卡瓦列里原理(累次积分)................................... 331

1.7.5 代换........................................................ 332

1.7.6微积分基本定理(高斯–斯托克斯定理)....................... 333

1.7.7 黎曼曲面测度............................................... 340

1.7.8 分部积分................................................... 342

1.7.9 曲线坐标................................................... 343

1.7.10 应用到质心和惯性中点..................................... 346

1.7.11 依赖于参数的积分......................................... 348

1.8 向量代数.......................................................... 349

1.8.1 向量的线性组合............................................. 349

1.8.2 坐标系...................................................... 350

1.8.3 向量的乘法................................................. 352

1.9 向量分析与物理学领域............................................ 354

1.9.1 速度和加速度............................................... 355

1.9.2 梯度、散度和旋度........................................... 357

目录xiii

1.9.3 在形变上的应用............................................. 359

1.9.4 哈密顿算子的运算.......................................... 360

1.9.5 功、势能和积分曲线.........................................364

1.9.6 对力学的守恒律的应用...................................... 365

1.9.7 流、守恒律与高斯积分定理.................................. 367

1.9.8 环量、闭积分曲线与斯托克斯积分定理...................... 369

1.9.9根据源与涡确定向量场(向量分析的主要定理)............... 370

1.9.10 对电磁学中麦克斯韦方程的应用............................ 371

1.9.11 经典向量分析与嘉当微分学的关系......................... 373

1.10 无穷级数......................................................... 374

1.10.1 收敛准则.................................................. 375

1.10.2 无穷级数的运算............................................377

1.10.3 幂级数..................................................... 380

1.10.4 傅里叶级数................................................ 382

1.10.5 发散级数求和.............................................. 386

1.10.6 无穷乘积.................................................. 386

1.11 积分变换......................................................... 388

1.11.1 拉普拉斯变换.............................................. 389

1.11.2 傅里叶变换................................................ 394

1.11.3 Z 变换.................................................... 399

1.12 常微分方程...................................................... 403

1.12.1 引导性的例子.............................................. 404

1.12.2 基本概念.................................................. 412

1.12.3 微分方程的分类............................................421

1.12.4 初等解法.................................................. 431

1.12.5 应用....................................................... 447

1.12.6 线性微分方程组和传播子.................................. 451

1.12.7 稳定性..................................................... 455

1.12.8 边值问题和格林函数....................................... 457

1.12.9 一般理论.................................................. 462

1.13 偏微分方程...................................................... 466

1.13.1 数学物理中的一阶方程..................................... 467

1.13.2 二阶数学物理方程......................................... 494

1.13.3 特征的作用................................................ 510

1.13.4 关于唯一性的一般原理..................................... 519

1.13.5 一般的存在性结果......................................... 521

xiv 目录

1.14 复变函数......................................................... 530

1.14.1 基本思想.................................................. 531

1.14.2 复数列..................................................... 532

1.14.3 微分....................................................... 533

1.14.4 积分....................................................... 535

1.14.5 微分式的语言.............................................. 538

1.14.6 函数的表示................................................ 541

1.14.7 留数计算与积分计算....................................... 547

1.14.8 映射度..................................................... 549

1.14.9 在代数基本定理上的应用.................................. 550

1.14.10 双全纯映射和黎曼映射定理............................... 552

1.14.11 共形映射的例子.......................................... 553

1.14.12 对调和函数的应用........................................ 561

1.14.13 在流体动力学上的应用.................................... 564

1.14.14 在静电学和静磁学上的应用............................... 567

1.14.15 解析延拓与恒等原理...................................... 568

1.14.16 在欧拉伽马函数上的应用................................. 571

1.14.17 椭圆函数和椭圆积分...................................... 572

1.14.18 模形式与P 函数的反演问题.............................. 580

1.14.19 椭圆积分................................................. 582

1.14.20 奇异微分方程............................................. 590

1.14.21 在高斯超几何微分方程上的应用...........................592

1.14.22 在贝塞尔微分方程上的应用............................... 592

1.14.23 多复变函数............................................... 594

第2 章代数学............................................................597

2.1 初等代数.......................................................... 597

2.1.1 组合学...................................................... 597

2.1.2 行列式...................................................... 600

2.1.3 矩阵........................................................ 604

2.1.4 线性方程组................................................. 609

2.1.5 多项式的计算............................................... 614

2.1.6代数学基本定理(根据高斯的观点).......................... 616

2.1.7 部分分式分解............................................... 623

2.2 矩阵.............................................................. 625

2.2.1 矩阵的谱................................................... 625

2.2.2 矩阵的正规形式............................................. 627

目录xv

2.2.3 矩阵函数................................................... 634

2.3 线性代数.......................................................... 636

2.3.1 基本思想................................................... 636

2.3.2 线性空间................................................... 637

2.3.3 线性算子................................................... 640

2.3.4 线性空间的计算............................................. 644

2.3.5 对偶性...................................................... 648

2.4 多线性代数....................................................... 649

2.4.1 代数........................................................ 650

2.4.2 多线性型的计算............................................. 650

2.4.3 泛积........................................................ 656

2.4.4 李代数...................................................... 661

2.4.5 超代数...................................................... 662

2.5 代数结构.......................................................... 662

2.5.1 群.......................................................... 663

2.5.2 环.......................................................... 669

2.5.3 域.......................................................... 671

2.6 伽罗瓦理论和代数方程............................................ 674

2.6.1 三个著名古代问题.......................................... 674

2.6.2 伽罗瓦理论的主要定理...................................... 675

2.6.3 广义代数学基本定理........................................ 678

2.6.4 域扩张的分类............................................... 679

2.6.5 根式可解方程的主定理...................................... 680

2.6.6 尺规作图................................................... 681

2.7 数论.............................................................. 684

2.7.1 基本思想................................................... 685

2.7.2 欧几里得算法............................................... 686

2.7.3 素数分布................................................... 689

2.7.4 加性分解................................................... 695

2.7.5 用有理数及连分数逼近无理数............................... 698

2.7.6 超越数...................................................... 703

2.7.7 对数π 的应用.............................................. 706

2.7.8 高斯同余式................................................. 710

2.7.9 闵可夫斯基数的几何........................................ 713

2.7.10数论中局部–整体基本原理................................. 714

2.7.11 理想和因子理论............................................715

xvi 目录

2.7.12 对二次数域的应用......................................... 717

2.7.13 解析类数公式.............................................. 720

2.7.14 一般数域的希尔伯特类域论................................ 720

第3 章几何学............................................................722

3.1 由克莱因的埃尔兰根纲领所概括的几何学的基本思想............... 722

3.2 初等几何学....................................................... 723

3.2.1 平面三角学................................................. 723

3.2.2 对大地测量学的应用........................................ 731

3.2.3 球面几何学................................................. 734

3.2.4 对于海上和空中旅行的应用................................. 738

3.2.5 几何的希尔伯特公理........................................ 740

3.2.6 欧几里得平行公理.......................................... 744

3.2.7 非欧椭圆几何学............................................. 744

3.2.8 非欧双曲几何学............................................. 745

3.3 向量代数在解析几何学中的应用................................... 747

3.3.1 平面中的直线............................................... 748

3.3.2 空间中的直线和平面........................................ 750

3.3.3 体积........................................................ 751

3.4欧氏几何学(运动的几何学)....................................... 752

3.4.1 欧几里得运动群............................................. 752

3.4.2 圆锥截线................................................... 753

3.4.3 二次曲面................................................... 755

3.5 射影几何学....................................................... 759

3.5.1 基本思想................................................... 759

3.5.2 射影映射................................................... 761

3.5.3 n 维实射影空间............................................. 762

3.5.4 n 维复射影空间............................................. 763

3.5.5 平面几何学的分类.......................................... 764

3.6 微分几何学....................................................... 767

3.6.1 平面曲线................................................... 768

3.6.2 空间曲线................................................... 774

3.6.3 高斯的曲面局部理论........................................ 777

3.6.4 高斯的曲面整体理论........................................ 786

3.7 平面曲线的例子................................................... 787

3.7.1 包络线和焦散线............................................. 787

3.7.2 渐屈线...................................................... 788

目录xvii

3.7.3 渐伸线...................................................... 789

3.7.4 惠更斯的曳物线和悬链线.................................... 790

3.7.5 伯努利双纽线和卡西尼卵形线............................... 791

3.7.6 利萨如图形................................................. 792

3.7.7 螺线........................................................ 792

3.7.8射线曲线(蚌线)............................................ 793

3.7.9 旋轮线...................................................... 795

3.8 代数几何学....................................................... 799

3.8.1 基本思想................................................... 799

3.8.2 平面曲线的例子............................................. 807

3.8.3 对积分计算的应用.......................................... 811

3.8.4 平面代数曲线的射影复形式................................. 813

3.8.5 曲线的亏格................................................. 817

3.8.6 丢番图几何................................................. 820

3.8.7 解析集和魏尔斯特拉斯预备定理............................. 827

3.8.8 奇点分解................................................... 828

3.8.9 现代代数几何的代数化...................................... 829

3.9 现代物理的几何................................................... 835

3.9.1 基本思想................................................... 836

3.9.2 酉几何、希尔伯特空间和基本粒子........................... 838

3.9.3 伪酉几何................................................... 845

3.9.4 闵可夫斯基几何............................................. 849

3.9.5 对狭义相对论的应用........................................ 853

3.9.6 旋量几何和费米子.......................................... 859

3.9.7 近复结构................................................... 868

3.9.8 辛几何...................................................... 868

第4 章数学基础......................................................... 871

4.1 数学的语言....................................................... 871

4.1.1 真命题和假命题............................................. 871

4.1.2 蕴涵........................................................ 872

4.1.3 重言律和逻辑定律.......................................... 874

4.2 证明的方法....................................................... 876

4.2.1 间接证明................................................... 876

4.2.2 归纳法证明................................................. 877

4.2.3 唯一性证明................................................. 877

4.2.4 存在性证明................................................. 878

xviii 目录

4.2.5 计算机时代证明的必要性.................................... 879

4.2.6 不正确的证明............................................... 881

4.3 朴素集合论....................................................... 883

4.3.1 基本概念................................................... 883

4.3.2 集合的运算................................................. 884

4.3.3 映射........................................................ 888

4.3.4 集合的等势................................................. 891

4.3.5 关系........................................................ 892

4.3.6 集系........................................................ 894

4.4 数理逻辑.......................................................... 895

4.4.1 命题逻辑................................................... 896

4.4.2 谓词逻辑................................................... 899

4.4.3 集合论的公理............................................... 900

4.4.4 康托尔的无穷结构.......................................... 902

4.5 公理方法及其与哲学认识论之关系的历史.......................... 905

第5 章变分法与最优化.................................................. 908

5.1 单变量函数的变分法.............................................. 908

5.1.1欧拉–伯努利方程............................................908

5.1.2 应用........................................................ 912

5.1.3 哈密顿方程................................................. 918

5.1.4 应用........................................................ 923

5.1.5 局部极小值的充分条件...................................... 926

5.1.6 带约束问题和拉格朗日乘子................................. 929

5.1.7 应用........................................................ 930

5.1.8 自然边界条件............................................... 933

5.2 多变量函数的变分法.............................................. 934

5.2.1欧拉–拉格朗日方程......................................... 934

5.2.2 应用........................................................ 934

5.2.3 带约束的问题和拉格朗日乘子............................... 938

5.3 控制问题.......................................................... 938

5.3.1 贝尔曼动态最优化.......................................... 939

5.3.2 应用........................................................ 940

5.3.3 庞特里亚金极大值原理...................................... 942

5.3.4 应用........................................................ 943

5.4 经典非线性最优化................................................. 945

5.4.1 局部极小化问题............................................. 945

目录xix

5.4.2 全局极小化问题和凸性...................................... 946

5.4.3 对于高斯最小二乘法的应用................................. 946

5.4.4 对于伪逆的应用............................................. 947

5.4.5 带约束的问题和拉格朗日乘子............................... 947

5.4.6 对熵的应用................................................. 949

5.4.7 次微分...................................................... 950

5.4.8 对偶理论和鞍点............................................. 951

5.5 线性最优化....................................................... 952

5.5.1 基本思想................................................... 952

5.5.2 一般线性最优化问题........................................ 954

5.5.3 最优化问题的标准形式和最小试验...........................957

5.5.4 单形法...................................................... 957

5.5.5 最小试验................................................... 958

5.5.6 标准形式的获得............................................. 961

5.5.7 线性最优化中的对偶性...................................... 962

5.5.8 单形法的修改............................................... 963

5.6 线性最优化的应用................................................. 963

5.6.1 容量利用问题............................................... 963

5.6.2 混合问题................................................... 964

5.6.3 资源或产品的分配问题...................................... 964

5.6.4 设计问题和轮班计划........................................ 965

5.6.5 线性运输问题............................................... 966

第6 章随机演算------

机会的数学........................................ 974

6.1 基本的随机性..................................................... 976

6.1.1 古典概型................................................... 976

6.1.2 伯努利大数定律............................................. 978

6.1.3 棣莫弗极限定理............................................. 979

6.1.4 高斯正态分布............................................... 980

6.1.5 相关系数................................................... 983

6.1.6 在经典统计物理学中的应用................................. 986

6.2 科尔莫戈罗夫的概率论公理化基础................................. 988

6.2.1 事件与概率的计算.......................................... 991

6.2.2 随机变量................................................... 995

6.2.3 随机向量.................................................. 1001

6.2.4 极限定理.................................................. 1005

6.2.5 应用于独立重复试验的伯努利模型......................... 1007

xx 目录

6.3 数理统计......................................................... 1016

6.3.1 基本思想.................................................. 1016

6.3.2 重要的估计量.............................................. 1018

6.3.3 正态分布测量值的研究..................................... 1019

6.3.4 经验分布函数.............................................. 1022

6.3.5 参数估计的最大似然方法.................................. 1028

6.3.6 多元分析.................................................. 1030

6.4 随机过程......................................................... 1032

6.4.1 时间序列.................................................. 1034

6.4.2 马尔可夫链与随机矩阵..................................... 1040

6.4.3 泊松过程.................................................. 1042

6.4.4 布朗运动与扩散............................................1043

6.4.5 关于一般随机过程的科尔莫戈罗夫主定理................... 1047

第7 章计算数学与科学计算............................................. 1050

7.1 数值计算和误差分析............................................. 1051

7.1.1 算法的概念................................................ 1051

7.1.2 在计算机上表示数......................................... 1051

7.1.3 误差来源, 发现误差, 条件和稳定性......................... 1053

7.2 线性代数......................................................... 1055

7.2.1线性方程组——直接法..................................... 1055

7.2.2 线性方程组的迭代法....................................... 1063

7.2.3 特征值问题................................................ 1066

7.2.4 拟合和最小二乘法......................................... 1070

7.3 插值, 数值微分和积分............................................ 1076

7.3.1 插值多项式................................................ 1076

7.3.2 数值微分.................................................. 1085

7.3.3 数值积分.................................................. 1086

7.4 非线性问题...................................................... 1093

7.4.1 非线性方程................................................ 1093

7.4.2 非线性方程组.............................................. 1094

7.4.3 确定多项式零点............................................1098

7.5 数值逼近......................................................... 1102

7.5.1 二次平均逼近.............................................. 1103

7.5.2 一致逼近.................................................. 1107

7.5.3 近似一致逼近.............................................. 1108

7.6 常微分方程...................................................... 1109

目录xxi

7.6.1 初值问题.................................................. 1109

7.6.2 边值问题.................................................. 1118

7.7 偏微分方程与科学计算........................................... 1121

7.7.1 基本思想.................................................. 1121

7.7.2 离散方法概述.............................................. 1122

7.7.3 椭圆型微分方程............................................1127

7.7.4 抛物微分方程.............................................. 1138

7.7.5 双曲微分方程.............................................. 1142

7.7.6 自适应离散方法............................................1149

7.7.7 方程组的迭代解............................................1151

7.7.8 边界元方法................................................ 1163

7.7.9 调和分析.................................................. 1165

7.7.10 反问题................................................... 1176

数学历史概要.............................................................. 1179

参考文献.................................................................. 1207

数学符号.................................................................. 1241

基本物理量纲.............................................................. 1245

基本物理常数.............................................................. 1247

SI 词头构成表............................................................. 1251

希腊字母表................................................................ 1252

人名译名对照表............................................................ 1253

索引....................................................................... 1279

no2rain

part7 ????附件不全

pdkpcell

感谢提醒

pdkpcell

no2rain 发表于 2022-10-23 15:44
part7 ????附件不全

期待的part7在3楼

xuxms

好东西，谢谢分享

lans0625

谢谢分享

no2rain

pdkpcell 发表于 2022-10-25 10:29
期待的part7在3楼

多谢分享

chinest2010

感谢楼主分享！

game_over

谢谢！

boy1234

感谢分享