莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler

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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。


欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

　　欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼·狄德罗：“先生，因为(a+b^n)/n = x；所以上帝存在，请回答！”

　　欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。

　“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”(阿拉戈说)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后7年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。

　　欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了47年。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。

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成就　　

欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。
　　他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。
　　他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。
　　在数论里他引入了欧拉函数。
　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。
　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
　　在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。
　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：
　　其中是黎曼函数。
　　欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。
　　在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公'”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：
　　在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数：
　　他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。
　　在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。
　　一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。
　　在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。
　　在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：:
　　其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。
　　这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ为此流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。
　　单联通流形，例如球面或平面，的欧拉特征值是2。
　　对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。
　　在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。
　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

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    评价　　欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。
　　早在上一个世纪，艾萨克·牛顿就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生形变的学说。
　　欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题──二十一世纪仍要面临的一个问题──尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光波学说，结果证明他是正确的。
　　欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名的发现开拓前进的道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈特·欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里叶方程。这套方程在物理学的许多不同的领域都有着广泛的应用，其中包括声学和电磁学。
　　在数学方面他对微积分的两个领域──微分方程和无穷级数──特别感兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不便在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式eiQ=cosθ十isinθ表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意义的贡献。
　　欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。
　　最后要提到的一点也很重要，欧拉对目前使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，现在的数学中经常使用这些符号。
　　欧拉于1707年出生在瑞士巴塞尔。1720他十三岁时就考入了巴塞尔大学，起初他学习神学，不久改学数学。他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位，二十岁受凯瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。他二十三岁成为该院物理学教授，二十六岁就接任著名数学家但尼尔·伯努利的职务，成为数学所所长。两年后，他有一只眼睛失明，但仍以极大的热情继续工作，写出了许多杰出的论文。
　　1741年普鲁士弗雷德里克大帝把欧拉从俄国引诱出来，让他加入了柏林科学院。他在柏林呆了二十五年后于1766年返回俄国。不久他的另一只眼睛也失去了光明。即使这样的灾祸降临，他也没有停止研究工作。欧拉具有惊人的心算才能，他不断地发表第一流的数学论文，直到生命的最后一息。1783年他在圣彼得斯堡去逝，终年七十六岁。欧拉结过两次婚，有十三个孩子，但是其中有八个在襁褓中就死去了。
　　即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会有什么不同呢？就伦哈特·欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。
　　欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如今，在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
　　从所有这一切来看，读者可能要问为什么在本书中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威廉·康拉德，伦琴和格雷戈尔·孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。

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    轶事　　1733年，丹尼尔．伯努利吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅。他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安。夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔(Gsell)的女儿。后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被栓得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉。某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯。
　　欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一。他很喜欢孩子(他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了)。他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩。他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松。
　　许多关于他才思横溢的传说流传至今。有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文。文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上。当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打。这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒。由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反。
　　1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇。就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了。而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特．约翰．德．比隆的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治。10年里，欧拉沉默地埋头工作。这中间，他遭受了第一次巨大的不幸。他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的(由于有一个类似的问题在高斯(Gauss)那里出现，我们在这里不介绍它)，欧拉在三天之后把它解决了。可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。
　　应该注意到，怀疑数学史中所有趣闻轶事的现代考证已经指出，欧拉右眼的失明根本不能怪那个天文学问题，至于博学的考据家(或别的什么人)怎么会对所谓的因果定律懂得这么多，这对于大卫．休谟(DavidHume，欧拉的同时代人)的在天之灵来说则是个有待解决的秘密了。让我们再小心翼翼地谈一下欧拉与无神论者(或许是个泛神论者)法国教授丹尼斯．狄德罗(DenisDiderot，1713-1784)的著名故事。这有点越出了年代顺序，因为这件事发生在欧拉第二次居住俄国期间。
　　受叶卡捷琳娜二世女皇邀请访问宫廷的狄德罗靠着向朝臣们宣传无神论过日子。叶卡捷琳娜感到厌烦了，便叫欧拉封住这个夸夸其谈的哲学家的嘴。这很容易，因为整个数学对于狄德罗那是天外玄机。德．摩根(DeMorgan)讲到这件事的经过(在他的名著(悖论汇编)中，1872)：有人告诉狄德罗，一个博学的数学家有上帝存在的代数证明。如果他想听，那个数学家将当着整个宫廷公布出来。狄德罗高兴地同意了。……欧拉来到狄德罗跟前，以深信不疑的语调庄重地说：
　　"先生，因为，所以上帝存在。请回答！"
　　这让狄德罗听起来像满有道理似的。这个可怜的人由于难堪的沉默而受到无情嘲笑的羞辱，只好向叶卡捷琳娜请求立即回法国。女皇宽厚地答应了他。
　　欧拉还不满足于这个杰作，他又极其认真地用灵魂非有形物质的庄严证明来画蛇添足。据说，这两个证明当时都写进了神学论文。这些很可能就是欧拉的才华中确赏脱离现实的方面最突出的代表作。
　　在欧拉居住俄国期间，数学本身并没有用完他的全部能力。在要他用与纯粹数学相差不太远的方法施展其数学才能的任何地方，他都使政府的钱花得很值得。欧拉为俄国学校写过一些初等数学教科书，管理过政府的地理部，帮助改革过度量衡，设计过检验天平的实用方法。这些只是他全部活动的一部分，但不管欧拉做多少别的工作，他总是能不断地在数学方面拿出成果来。
　　这个时期最重要的著作之一是1736年关于力学的一篇论文。按语中没有出版日期，但有一个笛卡儿(Descrates)解析几何出版百年纪念的标注。欧拉的论文为力学做了笛卡儿(Descrates)的论文为几何学做过的事使之摆脱综合证明的束缚并使之解析化。牛顿(Newton)的(原理)可以由阿基米德写出来；欧拉的力学却不能由任何希腊人写出来。有力的微积分学被初步引入力学，并进入开创基础科学的现代时期。在这方面，欧拉后来又被他的朋友拉格朗日(Lagrange)超越了，但采取决定性步骤的荣誉是属于欧拉的。
　　1740年安娜死后，俄国政府变得比较开明，但欧拉已吃够了苦头，高兴地接受腓特烈大帝的邀请到了柏林科学院。皇太后十分喜欢欧拉，并试图逗他多讲话。她得到的全是单音节的回答。
　　"你为什么不愿对我讲话？"她问。
　　"陛下，"欧拉回答说，"我来自一个谁讲话谁就要被绞死的国家。"
　　这以后，欧拉在柏林度过了24年。日子并不都是很愉快的，因为腓特烈喜欢的是圆滑的廷臣，而不是单纯的欧拉。虽然腓特烈感觉到了赞助数学发展的责任，但他又瞧不起这个学科，自己也不谙此道。不过他还是很赏识欧拉的才能，用来解决造币、水管、运河通航、年金系统及其他实际问题。
　　俄国从来不让欧拉完全脱离它，甚至当欧拉在柏林的时候还给他支付部分薪金。尽管欧拉家属众多，他还是很富裕。除了柏林的房子，他在夏洛滕堡附近还有一个农庄。在1760年俄国入侵勃兰登堡地区时，欧拉的农庄遭到了劫掠。俄军统帅声明他"并非向科学开战"，给了欧拉远远大于实际损失的赔偿。当伊丽莎白皇后听到欧拉遭到劫掠的消息时，她另外又给了他超过赔偿需要的数目可观的一大笔钱。
　　欧拉在腓特烈的宫廷不受欢迎的一个原因是他不能置身于哲学问题的辩论之外，而对那些问题他是一窍不通的。整天只想着向腓特烈献媚的伏尔泰(Voltaire)喜欢与腓特烈周围另一些善于咬文嚼字的人一道用形而上学的难题来纠缠取笑不幸的欧拉。欧拉拿出全副好脾气进行应付，随着他人的哄闹，嘲笑自己的滑稽错误。但腓特烈逐渐感到恼火了，他开始设法寻找一个比较善辩的哲学家来领导他的科学院并增添他宫廷的欢乐。
　　达朗贝尔(D'Alembert)被邀请到柏林察看情况。他跟欧拉在数学方面小有龃龉。但达朗贝尔(D'Alembert)可不是那种让个人的不和影响判断的人。他直率地对腓特烈说，把任何别的数学家置于欧拉之上都是一种侮辱。这个忠告结果只是使腓特烈比原来更加生气和执拗，欧拉的处境变得无法忍受了。他感到，他的孩子们在普鲁士不会有任何前途。终于在他59岁的时候(1766年)收拾起行装，应叶卡捷琳娜二世的热诚邀请再次移居圣彼得堡。
　　叶卡捷琳娜像接待皇亲一样欢迎这位数学家，又给欧拉和他的18位家属拨了一处家俱齐备的住宅，还把自己的一名厨师给了欧拉，为他管理膳食。
　　就在这个时候，欧拉余下的一只眼睛开始失明了(因白内障)，不久他就完全成了盲人。在他视力逐渐丧失的过程中，拉格朗日、达朗贝尔和当时的其他大数学家在来往的书信中都表示震惊和同情。而欧拉本人面对失明的到来却很镇定。毫无疑问，他的深挚的宗教信仰帮助了他面对未来。但是他并没有让自己屈服于寂静和黑暗，很快便着手补救无法恢复的视力。在最后一点光感消失之前，他就使自己习惯了用粉笔在大石板上写公式，然后他的孩子们(特别是阿尔伯特[AlbertEuler])当抄写员，他再口授公式的解释。他的数学新作不仅没有减少，反而增多了。
　　欧拉整个一生都幸运地具有非凡的记忆力。他背过维吉尔的(Virgil(埃涅阿斯纪)(Aeneid)尽管他从年轻时起就很少读这本书，但他始终能够说出他那个版本每一真的开头和结尾。他的记忆既是视觉的，也是听觉的。他还有惊人的心算能力，不仅能算算术题，也能算比较难的要用到高等代数和微积分的题目。那个时代整个数学领域的主要公式都准确地装在他的脑子里。
　　作为他心算能力的一个例证，孔多塞(N.C.deCondorcet)谈到，欧拉的两个学生对一个复杂的收敛级数(就变量的一个特定值)做前17项的求和，结果只是在第50位上相差一个单位数。为了判定哪个对，欧拉使整个心算了一遍，人们肯定他的答案是正确的。这种能力现在帮助了欧拉，使他少受失明之苦。但即使如此，他失明17年间有一个成就也是令人难以置信的。这就是月球运行的理论－－唯一的一个使牛顿都感到头疼的问题－－在欧拉手里第一次得到透彻的研究。整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进行的。
　　欧拉回到圣彼得堡五年后，又一场灾难落到他的头上。在1771年的大火中，他的房子及全部家具都烧掉了。只是靠了瑞士仆人彼得．格里姆的英勇，欧拉才幸免于难。格里姆冒着生命危险把有病的盲主人从大火中数了出来。藏书烧了，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的全部手稿得以保全。叶卡捷琳娜女皇立即补偿了欧拉的全部损失，他很快又投入了工作。
　　1776年(即他69岁时)欧拉遭受了更大的损失，他的妻子死了。第二年，他再次结婚。第二个妻子，萨洛姆．艾比格尔，格塞尔(SalomeAbigailGsell)是第一个妻子的异母姊妹。他的最大不幸是恢复左眼视力手术的失败(可能是由于外科医师的疏忽)，那本来是唯一有点儿希望的眼睛。手术是"成功的"，欧拉高兴了一阵子。但是不久感染就开始了，经过一段他描述为"可怕的"痛苦之后，他又重新坠入了黑暗之中。
　　回过头来浏览一下欧拉浩繁的著作。初看起来，我们可能倾向于认为任何有才华的人都能差不多像欧拉一样容易地做出它的大部分。可是比照数学在今天的情况做一番考察，很快就会纠正我们的错误想法。考虑到现在供我们使用的方法的力量，那么目前数学各种理论一团乱麻般的状态就丝毫不比欧拉面对的更为复杂。对今天的欧拉式人物来说，数学是已经成熟的。欧拉在他那个时代，运用分析方法的力量奠定基础，整理有价值的东西，从而系统化和统一了被局部成果和孤立法则弄乱了的广大领域。直到今天，大学里数学课教的许多东西实际上还是欧拉留下的。例如，以一般的二次方程所作的三维空间中圆锥曲线和二次曲面的表述就是欧拉所留下的。还有年金问题及由此派生的各种问题(保险费，养老金等等)也是由欧拉的研究而成为现在"投资数学理论"学生所熟悉的这种样子的。
　　正如阿拉戈所指出的，欧拉的伟大和他作为一名教师以著作获得直接成功的一个根源，在于他毫不妄自尊大。如果为了澄清较早、较重要的著作需要某些内在价值较低的作品，欧拉也毫不犹豫地去写。他毫不顾虑降低自己的声望。
　　即使在富有创造性的工作中，欧拉也把发现与教育结合起来。他在1748年、1755年和1768-1770年写的关于微积分的伟大论文(Introductioinanalysininfinitorum,(无穷小分析引论)；Institutionescalculidifferentialis，(微积分概论)；Institutionescalculiintegralis,(积分学概论))立即成了经典著作，并且在四分之三世纪的时间里哺育着要成为大数学家的年轻人。而就在关于变分法的著作【Methodusinveniendilineascurvasmaximiminimiveproprietategaudentes,(寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧),1744年】中，欧拉第一次显示出自己是个第一流的数学家。
　　我们已提到过，欧拉在把力学分析化时，他向前跨进了一大步。学习刚体动力学的每个学生都熟悉欧拉的转动分析，并引用他的这一贡献(有一个细节除外)。分析力学是纯粹数学的一个分支，因而欧拉在这里不像在别的某些接近实际的科目里那样有一飞上纯计算的广阔天空便离题万里的风险。欧拉同时代人对他工作的最尖锐批评是针对他仅仅为了漂亮分析的需要，而不控制进行计算的冲动。他有时可能缺乏对物理形态的足够理解，不管是什么问题，都试图变成计算。不过，当问题值得他下苦功时，他还是足够实际的。今天流体动力学中应用的流体运动基本方程就是欧拉建立的。
　　欧拉的分析学有一个特殊内容应该顺便提一下，因为19世纪数学的主流之一在很大程度上是由它引起的。这就是他发现，除非一个无穷级数收敛，否则使用起来就不可靠。例如，由长除法，我们可以得到一个无限延续的级数：
　　在这里取X=1/2，
　　则-2=2+22+23+24+.....
　　收敛性的研究会告诉我们如何避免这样的荒谬结果。奇怪的是，虽然欧拉认识到了涉及无穷级数时小心从事的必要性，但在他自己的许多著作中也并没能信守这一条。他对分析学的信念又是那样坚定，以至他有时只好寻找荒唐的"解释"来使那些特有的谬误过关。
　　但是在请到这些事情的时候，我们必须说明，就欧拉所做出的大量头等重要的崭新而正确的成果而言，很少有人赶上或接近他。爱好算术－－也许这不是一个很"重要"的科目－－的人们会赞成给欧拉戴一枝丢番图分析的棕榈，像给费马(Fermat)和丢番图本人戴过的一样大小、一样新鲜。欧拉是第一流的、也许是最大的数学万能主义者。
　　欧拉也不仅仅是个数学家。在文学和自然科学的各个学科，包括生物学界，他都至少是个知名的作者。然而，就是当他欣赏(埃涅阿斯纪)的时候，也禁不住要找出一个问题来施展他的数学才能。"铁锚投下去，奔腾的龙骨停下来"这一行吸引他动手算出了这种条件下的船体运动。欧拉博览群书，甚至一度涉猎星占学，但是看得出来，他并没有接受它。当1740年要他用占星术为伊凡大公算命的时候，他推说占星术是宫廷天文学家的事而婉言拒绝了。可怜的天文学家则不得不做那件事。
　　有一个柏林时期的作品显示出欧拉是个文辞优美(虽然有点过分虔奉宗教)的作家。他为了向腓特烈的侄女，安哈尔特-德始公主介绍力学、物理光学、天文学、声学等课程，为了颇受赞誉的(致一位德国公主的信)。这些著名的信流传很广，被印成了7种文字的单行本。这也说明，公众对科学的兴趣并不是新近才增长起来的，只是有时我们倾向于那样想像罢了。
　　欧拉始终保持着充沛的精力和清醒的头脑，直到临死的那一秒钟。那是在1783年9月18日，他77岁的时候。这天下午他当作消遣地推算了气球升高的定律－－照例是在他的石板上。尔后，与雷克塞尔和家人吃了晚饭。"赫歇耳的行星"(天王星)那时刚刚被发现，欧拉写出了他对这个行星轨道的计算。过了一会儿，他让他的孙子进来。就在喝着茶跟孩子玩的时候，他中风发作。手中烟斗掉了，只说出一句话"我要死了","欧拉便停止了生命和计算。"