[E-book]Introduction to Algebraic Coding Theory

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1 Introduction 1
2 Basics 2
2.1 Important code parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Correcting and detecting errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Sphere-packing bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Linear codes 9
3.1 Generator and parity check matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Coset and syndrome decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Hamming codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Ideals and cyclic codes 18
4.1 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Cyclic codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Group of a code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Minimal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 BCH and Reed-Solomon codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Acknowledgements 28

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