1. 从传递函数到时域响应

一个线性系统的传递函数通常可以表示为有理分式的形式：

其中，$p_1,p_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},p_n$ 就是系统的极点。

当系统被激励（例如，加上一个脉冲或一个阶跃信号），它的时域响应 $h(t)$ 可以通过对 $H(s)$ 进行拉普拉斯逆变换得到。数学上，这个过程会将传递函数分解为多个简单分式的和（部分分式展开），每个分式都对应一个极点：

2. 单个极点的变换对

这是最核心的一步。拉普拉斯变换中有一个基本变换对：

这个公式将复频域（s域）中的点 $a$ 直接与时域中的指数函数 $e^{at}$ 关联了起来。

现在，让我们把极点的通用形式代入这个变换对。一个极点 $p$ 通常是一个复数：

其中：

• $\sigma$ 是极点的实部。

• $\omega$ 是极点的虚部。

这个极点 $p$ 对应的时域响应分量为：

3. 欧拉公式与衰减因子

利用欧拉公式 $e^{j\omega t}=\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)$，我们可以将上面的响应写为：

现在，关键点来了：

• $e^{j\omega t}$ 部分（正弦和余弦）代表振荡，其频率由极点的虚部 $\omega$ 决定。

• $e^{\sigma t}$ 部分是一个指数项，它负责调制振荡的幅度。

这个指数项 $e^{\sigma t}$ 就是“衰减因子”（更广义地应称为“包络因子”）。

4. 衰减因子的三种情况

极点的实部 $\sigma$ 的值决定了这个因子的行为，从而决定了系统的稳定性：

| 极点位置 (s = σ ± jω) | 衰减因子 $e^{\sigma t}$ | 时域响应分量 | 物理意义 |
| ：--- | :--- | :--- | :--- |
| 左半平面 (LHP)
$\sigma <0$ | 指数衰减 | $e^{\sigma t}\cdot [\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)]$ | 稳定。振荡的幅度被一个 decaying 的指数紧紧包裹，最终归于平静。$\mathrm{\parallel }\sigma \mathrm{\parallel }$ 越大（极点离虚轴越远），衰减得越快。 |
| 虚轴
$\sigma =0$ | 常数 1 | $1\cdot [\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)]$ | 临界稳定。振荡幅度永不衰减，永远持续下去。 |
| 右半平面 (RHP)
$\sigma >0$ | 指数增长 | $e^{\sigma t}\cdot [\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)]$ | 不稳定。振荡的幅度被一个 growing 的指数疯狂放大，最终失控。 |

总结与直观对应

• 极点的实部 (σ) = 衰减因子的指数部分。

• 极点的虚部 (ω) = 振荡的频率部分。

• 极点离虚轴的远近：决定了衰减或增长的速度。离得越远，$\mathrm{\mid }\sigma \mathrm{\mid }$ 越大，指数变化（衰减或增长）的速度就越快。

• 极点离实轴的远近：决定了振荡的频率。离得越远，$\omega$ 越大，振荡频率越高。

一个具体的例子

假设一个系统的传递函数有一个极点位于 $p=-2+3j$。

1. 提取参数：实部 $\sigma =-2$，虚部 $\omega =3$。

2. 确定衰减因子：衰减因子为 $e^{\sigma t}=e^{-2t}$。

3. 确定振荡频率：振荡频率为 3 rad/s。

4. 描述时域响应：该极点对应的自然响应是一个频率为 3 rad/s 的正弦振荡，其幅度被一个时间常数为 $\tau =1\mathrm{/}\mathrm{\mid }\sigma \mathrm{\mid }=0.5$ 秒的指数包络所衰减。这意味着振荡会在大约 2.5 秒（5τ）内基本消失。

结论：
极点和衰减因子是通过拉普拉斯逆变换的基本关系式 $\frac{1}{s-p}\leftrightarrow e^{pt}$ 精确对应上的。极点的实部 σ 直接就是衰减因子指数项的系数，它决定了系统响应是衰减、维持不变还是增长，从而决定了系统的稳定性和动态性能。