傅里叶变换

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这一期接着聊连续时间的傅里叶分析，主要内容如下。

1、大牛傅里叶的简介；

2、傅里叶级数到傅里叶变换的转换过程；

3、周期信号的傅里叶变换表示；

4、卷积和乘法在时域及频域的对偶关系。

上一期，我们讲到了连续时间周期信号的傅里叶级数展开。傅里叶的名字可谓声名远播，是个不得不聊的人物。

约瑟夫·傅里叶(1768-1830)，法国数学家，物理学家。一生富有传奇色彩。儿时沦为孤儿，长大后，扛过枪，当过地方行政长官，出将入相。又那么热爱学习。在研究热传导问题时，于1811年，通过论文《热的传播》提出了任一函数可以展开成三角函数的无穷级数，也就是上一期中关于傅里叶级数的内容，积分变换基础。

1822年，出版专著《热的解析理论》将三角函数级数的理论一般化。将周期信号推广到更一般的信号，更系统地总结归纳为傅里叶分析。

根据时域信号的表现的不同特点（连续或离散，周期或非周期），傅里叶分析有不同的类型，不同的叫法以示区别，如图1所示。这里也看到了时域和频率的对偶性（Duality）。这期还是先讨论连续时间类型，对于离散情况，后续会专门总结。

图1

傅里叶变换可以认为是对傅里叶级数结论的一般化推广过程，这里先给出两个动图说明这个趋近过程。其中图2是上一篇(积分变换基础)中讲到的定义在区间[-1,1]的三角波，周期T=2。随着周期T增加，并趋近于+∞，信号就等效为单周期的三角波（其他定义域的值都为零）。

图2

当周期T增加时，其傅里叶级数ak和周期T乘积的变化过程如图3中蓝色的离散幅值，红色为akT的包络线。至于为什么是akT的乘积，我们先留个疑问。

图3

图2和3可以看到，当周期T增加时，时域信号越来越稀疏，而其傅里叶级数的频谱却越来越密集。直觉相信，在极限情况下，其终极形态就是红色的包络线函数。

下边试着从极限的角度，理清如何将周期信号傅里叶级数转化为非周期信号的傅里叶变换。

图4

图4重新给出了周期为T的周期信号图4(a)和其极限情况，仅定义在-T/2和T/2区间的非周期信号图4(b)。

图4(a)周期信号的傅里叶级数系数如图5。通过变形，注意和定义函数X(jω)的关系。X(jω)就是akT的包络线函数。

图5

我们再看看图4(a)周期信号的傅里叶级数表示。利用图5的包络线函数X(jω)定义，可以看到图6中的阶梯型面积之和。极限情况下，等于被积函数X(jω)e^(jωt)和ω轴形成面积。

图6

把傅里叶变换对重写如图7所示。时域信号x(t)的表示从周期信号的线性累加，变成非周期信号的积分表示形式。注意其傅里叶变换实际上是复变函数，自变量为jω，仅仅位于复平面的虚轴上。函数值也为复数形式，同时包含了幅度和相位的信息复合形式。

图7

注意傅里叶变换X(jω)的积分结果收敛存在，同样需要满足狄利克雷条件。

针对时域一般信号，通过傅里叶变换对，将信号从时域和频域紧密的联系在一起，建立了人们认识问题的新角度。从频域分析去解释问题也能够很好的符合人们实验观测的结果。使傅里叶变换在现代众多技术领域中得到广泛应用。

我们希望能够将傅里叶变换推广到更宽的适用范围。就必须解释和回答第三个问题，周期信号如何用傅里叶变换来表示？

如图8所示，首先考虑频域中位于频率点（kω0）处的单位冲激函数。单位冲激函数（出于傅里叶级数的频谱是离散频率点的若干值，所以考虑频域的单位冲激函数）的傅里叶反变换对应的时域信号应该是什么样的。

图8

图8中可给出了周期信号的傅里叶变化表示，是在k次谐波位置，为ak乘2π的离散频谱形式。(注意2πak

也是包含了幅度和相位的符合信息，也就是说是复数形式)

从时域和频域不同角度分析，就像观察硬币的正反面。虽然观测角度不同，事物本质上是一致的。就像历史上人们对电磁波的认识过程，到底是“波”还是“粒子”，是人们对电磁波“波粒二象性”不同角度的观测结果。

图9

就像我们对声音的理解一样，物体的振动产生声音。不同的乐器，根据同样的乐谱，都能演奏出近乎一样的乐曲（音色有各自的特色）。实际感受到的是悦耳动听的音乐（时域）。乐谱就算是从频域记录音乐的方式。

傅里叶变换中两个重要到不能再重要的关系，值得我们重点回顾一下，卷积和乘法。两者之间的相互转换的近似性关系称之为对偶性（Duality）。

图10

我们知道，时域卷积是信号与系统的基础概念，时域中，需要通过卷积运算计算系统响应。相信很多人，都知道卷积这概念，要真是让大家通过卷积来推导一下时域中系统响应。估计还是要挠挠头皮的。相反，时域的卷积运算映射到频域，仿佛一下子就降级到了只需要小学生的运算能力了，即乘法。从而大幅度降低运算复杂性，也符合我们一贯懒惰的本性。

转换为频域乘法，一个简单概念为滤波器。从频域角度描，对不同频率分量的幅度和相位进行需要的衰减和增强等操作。

另一个就是时域的乘法，映射到频域为卷积运算，貌似变复杂了。

其实在通信领域，时域乘法具有重要的意义。为了提高通信过程中传递信息的效率和距离。通常会将有用信息调制（Mixer乘法器）到高频率的载波上，便于信息的传递。接收端接收后，又需要把有用信息摘出。（原谅我这非专业人士的蹩脚描述）。其频域解释就是频谱搬移，将有用信号从低频搬移到高频载波上。

如图11，在高中的三角函数的学习过程中。比如说“积化和差”，如果把角度换做角频率。我们仔细再思考一下，肯定会会心一笑。这就是最基础的模拟调制方式，调幅（amplitude modulation）。

图11

再举一个例子，在后续回顾离散傅里叶变换（DTFT）时，也会看到为避免时域信号周期延拓后出现频谱泄露，需要对时域采样加"窗函数"。这也是一个在时域做乘积的例子，到时候，我们再仔细思考。

关于傅里叶变换的各种性质这里就不详细介绍了，大家还是翻翻书，多记多用才行。

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此系封

楼主，请教一下，有办法根据傅里叶变换的结果确定在某一个频段的信号占总的信号的比例吗？如果可以算，是将傅里叶变换在某个频段内对于频率积分再除以频率从负无穷到正无穷积分的值，是这样的吗？谢谢