关于卷积

wangji2036

之前看了一篇讲卷积的文章，虽然貌似是很通俗的语言，但我还是有很多疑问，或许是我理解能力不好吧。昨天我看了奥本海默亲自讲卷积的视频，又做了做他留下的课后习题，算是有了自己的一些理解。感叹，做任何事情都不能忘记初衷。

       首先，研究的问题是什么？一个系统，它的输入是x(t),输出y（t）。我希望对任意输入x（t），我都能找一个统一的办法算出它的输出y（t）。对于不同系统，我希望能找到一个命名规则来给它们命名，这个命名包含了系统所有的信息。我希望读者能把这两个问题先记着。

       然后，对于任意x（t），我能统一它们唯一办法就是微积分的思想，把它们拆成一个小段一小段，也就是一个个脉冲（我不知道这样描述妥当不妥当，或许用细长的长方形更为妥当。）我希望，只要知道一个单独脉冲作为输入得到的输出，我就能推理出整个信号的输出是什么。这就要解决以下几个子问题：

1、 单独脉冲信号输入（比如原点处脉冲），它的输出是什么？
2、如果解决了问题1，假设它的输出是h（t），那么x（t）被分成的其他单独脉冲，它们的输出能怎么很快地从h（t）得出来？
3、如果问题2也解决了，那个这么一个个单独的脉冲(设为x1，x2,x3.......)分别作为输入得出的一个个输出（设为y1,y2,y3......）和输入整个x（t）然后得到的输出y(t)有什么关系？


     我倒着来解决。

     问题3，不好意思，我不能无条件解决，但在一定条件下我是可以办到的，什么条件？假设这个系统是：Linear System。  即：y（t）=y1+y2+y3+.......

     问题2，不好意思，我不能无条件解决，但在一定条件下可以解决。什么条件？假设这个系统是：Time-Invariant System。 因为一个脉冲和另一个脉冲只有两点区别：前面会有不同的系数，有一个相差。Time-Invariant的性质就是：如果输入x（t）输出y（t），那么输入x（t-t0）输出y（t-t0）。

     问题1，这个完全不是靠推理解决的，那怎么办？因为它太原始了，原始问题的解决办法很简单，给一个定义！之前我们不是说有一个系统的命名问题么？这不就命名了么，对于任意一个系统，我们给它一个脉冲信号（原点处），得到一个输出h（t），我们就用h（t）来定义这个系统。所以一般h（t）都会给出。



    最后，你拿起草稿纸，按照这个思路，对于任意x（t），当然还有h（t）（定义的嘛！），用微积分的知识，肯定可以推出y（t）的表达式。很显然对于任意Linear Time-Invariant System，这个算法肯定是成立的。这不就是一开始我们要找的统一的算法嘛。我们把这个算法叫做卷积。



   PS：无知的我斗胆估计下，卷积应该差不多就这样产生的吧！  语文水平有限，请谅解。

sunyuanxin

你说的那个脉冲实际上是delt函数。任何x(t)都可以看作有无数个delta(t-t0)合成的。

wangji2036

回复 2# sunyuanxin 对的 我表述不准确

sunyuanxin

哎，这个版块好冷清，就只有我一个人在回帖。