匹配滤波

daisy_san

匹配滤波理论：”在加性平稳噪声环境下，使输出信噪比达到最大的线性滤波器，其频率响应等于信号频谱的共轭除以噪声功率谱“

• 问题建模
  接收波形：
  x(t) = s(t) + n(t)
  s(t)：已知确定性信号（例如探测器电流脉冲）
  n(t)：零均值平稳噪声，功率谱 Sₙ(f) = ℱ{Rₙ(τ)}
  

目标：设计线性滤波器 h(t) → 输出 y(t) = x(t)*h(t)
使 采样时刻 t₀ 的瞬时信噪比
SNR = |yₛ(t₀)|² / 𝔼[yₙ²(t₀)] 最大

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• 频域推导
  输出信号分量：
  Yₛ(f) = S(f) · H(f)
  输出噪声功率：
  𝔼[yₙ²] = ∫ |H(f)|² Sₙ(f) df
  

由 Cauchy-Schwarz 不等式，当
H(f) = κ · S*(f) / Sₙ(f)  (κ 任意常数)
时 SNR 达到最大，且
SNR_max = ∫ |S(f)|² / Sₙ(f) df

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• 时域表达式（白噪声特例），白噪声的功率谱是常数，与频率无关，N0表示噪声功率密度，电阻R产生的白噪声为sn(f)=4kTR (V2/Hz)
  

• 若 n(t) 为白噪声，Sₙ(f) = N₀/2，则
  H(f) ∝ S*(f) → h(t) ∝ s(t₀ − t)
  “匹配滤波器就是信号的时反+延迟副本”
  输出峰值在 t = t₀，且
  SNR_max = 2Eₛ / N₀  (Eₛ 为信号能量)
  

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• 一键应用表
  | 噪声类型 | 最优 H(f) | 实现捷径 ||---|---|---|| 白噪声 | S*(f) | 直接做相关器或 FIR 时反 || 1/f 噪声 | S*(f) / |f| | 加一阶微分后再相关 || 已知色噪声 | S*(f)/Sₙ(f) | 先白化（1/√Sₙ(f)），再相关 |
  

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• 核电子学实例
  探测器电流脉冲 s(t) = (Q/τ) e^(−t/τ)
  白噪声下匹配滤波器：
  h(t) = e^(−(t₀−t)/τ)  0 ≤ t ≤ t₀
  → 恰好就是 CR-RC 整形器（τ = RC），因此
  “CR-RC 是指数脉冲在白噪声下的匹配滤波器”
  这也是高斯整形逼近最优 SNR 的理论根源。
  在所有“给定脉宽”的线性滤波器离，高斯型对“白噪声+1/f噪声”的积分面积最小，因而输出噪声RMS最低，信噪比最高。