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[原创] 有关自相关函数的讨论

[原创] 有关自相关函数的讨论

本帖最后由 charlie_zhang 于 2018-7-26 15:15 编辑

自相关函数,在很多教科书中都有定义,网络上也各种各样的文档,最近由于项目需要理解这个概念。于是恶补了一把,但是很多文档写的不尽相同,表述始终不能让人从背景,基本原理,到应用有很明确的表述。因此特地写了这篇文章,力求明白清晰,达到知其然且知其所以然的目标。

提纲
(1) 随机试验,随机变量,随机过程
(2) 确知函数 随机信号
(3) 自相关函数的定义由来
(4) 噪声形态(民科理解)
(5) 自相关函数的性质
(6) 自相关函数的应用

正文
(1) 随机试验,随机变量,随机过程
     例如丢一个骰子,在丢之前并不能确定它的点数,可能是1-6直接任意一个数。那么这就叫作一次随机试验,而得到的点数就是一个随机变量,即随机变量是同一次随机试验联系起来的。那么这个随机变量从数学上如何去描述它呢,虽然它是不确定的(每次试验得到的数值不确定),但是变化中总有不变的东西,统计学正是以此为基础。所以才有两个概念期望E(X),方差D(X)的出现,它是为了描述某个随机变量而定义的。
     那么随机过程呢? 我们进行一次随机试验,产生了随机变量的概念;进行多次随机试验,则产生了随机过程的概念。


(2) 确知函数 随机信号
    确知函数,在接触统计学之前我们了解的函数都是确知函数,即若干个自变量对应一个因变量,有确定的表达式,定义域值域等等。
    而随机信号也是一个函数,只是它是一个函数可能性空间,是函数簇中可能的一个,只有进行了这个随机过程,这个随机信号才会塌缩为一个确知信号,以丢骰子为例,我们连续丢十次骰子,定义为随机过程,它将会产生了随机信号,自变量n=1,2,3...10. 因变量函数值f(n)可能是1-6。只是在进行随机过程之前,我们并不能确定f(n)的表达式,它是可能性函数簇空间中的一个。
    那么根据之前介绍,伴随随机变量我们定义了期望E(X),方差D(X);那么对着随机过程(信号)的产生,我们是否有了足够的数学描述手段呢?

    那么这里举一个例子: 有两个随机试验a,b. 进行随机试验a一次产生了随机变量X;进行随机试验b一次产生随机变量Y。进行多次随机试验a叫作随机信号u,进行多次随机试验b叫作随机信号v。那产生了如下的随机信号波形

随机过程u,v

01.png
2018-7-26 09:22

   其实随机变量E(X)=E(Y),D(X)=D(Y),那么从波形上可以直观看出,uv两个随机过程并不同,一个变化剧烈,一个变化舒缓,如何刻画这种区别?参考(3)


(3) 自相关函数的定义由来
    直观上我们提出E{[f(t)-f(t-c)]^2}来描述这种差别,当c取某个定值后,用f(t)差距c时间的两个函数值差值的平方的期望来表示相邻时间为c的两个随机变量的相似性,越小则说明相似性越大,极限的当函数f(t)变化特别缓慢时,这个值就很小。虽然容易理解,但是这个定义的值与含义相左。本意是这个值越大,相似性越大;而现在却是反过来了。
   我们展开 E{[f(t)-f(t-c)]^2} = E{f(t)^2} + E{f(t-c)^2} - 2E{f(t)f(t-c)}
   而对于平稳随机过程,
E{f(t)^2}和E{f(t-c)^2}都是常量,具体可参考相关概率论知识。如此还只剩下E{f(t)f(t-c)}这一项,很幸运,这个值越大,相似性就越大,所以我们得到了很多教科书上多典型定义
   R(c) = E{f(t)f(t-c)}


(4) 噪声形态(民科理解)
   这里为何要介绍噪声,因为(6)节中会介绍自相关函数的应用,特别提到在信号处理领域,要从被噪声干扰严重的信号中,提取出信号中有的周期分量的应用,那么噪声的形态如何,做个介绍就很有必要性。
   很多书籍介绍白噪声,高斯白噪声之类,从数学角度,能量谱密度为常数。那这里我们解释是这些噪声之间没有关联,完全随机,可以通过多次测量叠加将其减弱,滤除。


(5) 自相关函数的性质
    自相关函数从定义上看还是一个统计性质,对于某个平稳随机过程,只有进行大量试验才能逼近得到自相关函数。如下两种定义
    定义一: 理论定义
                 R(c) = E{f(t1)f(t2)} = E{f(t)f(t-c)}
    定义二: 实践逼近
                 R(c) = 积分f(t)f(t-c)dt,积分变量t从负无穷到正无穷
   性质1: 很明显具有偶函数特性
   性质2: R(0) >= R(c)
   性质3: 当原函数有周期分量时,相关函数也有周期分量,并且能够有效滤除随机的噪声(见(4)定义)


(6) 自相关函数的应用
     这里只举一个例子,一个周期信号,被强度很大的噪声淹没了,这个噪声具有特定的形态(见(4)),那么从自相关函数的本身定义二(见(3))出发.
     单次f(t0)f(t0-c)中夹杂着噪声,但是若对单次乘积累加积分,噪声抖动就会被抑制,而信号周期性则会被加强。
     如此就能观察出被噪声严重污染的信号中夹杂的周期分量了。

两个随机过程u,v的试验值

01.png

自相关不是简单说描述某种“相似性”。它还可以表达波动功率及其信号的周期特性的信息。用俗话说,也简单认为是“波动性”,因为自相关也好,互相关也好,数学含义上是“功率”量纲(一个是信号自身的波动性,一个是两个信号之间的相互波动性),当c = 0时,得到的就是信号自身的功率,数学上也叫方差;当观测 R 随着 c的分布时,你能观测到信号的周期性信息。

多次平均可以减少噪声,来自于高斯白噪声的性质。事实上并非所有的噪声都可以通过求平均来抑制的,幸运的是我们遇到的噪声大多数都是高斯白噪声。如果先不考虑时间,单是对同一个测量变量的多次平均,则高斯性提供的帮助是:
1. 高斯的统计平均收敛于期望值。所以理论上无限多次平均得到的就是期望值。
2. N个同分布的高斯信号叠加,其方差为原来的1/N。数学可以自己推,或者查高斯叠加的性质。这个就给出了一个指导:平均的次数越多,得到的噪声功率越小,测量估值越稳定。

如果涉及到一个随机过程中的时间累积,“白”提供的帮助是:噪声的R与c无关,意味着任何两个时间点之间的噪声值是相互独立的。则时间上的累积,也等同于以上统计上的累积,都可以利用高斯的平均性质。


希望对你有帮助。

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