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内容提要
1、带宽相关概念 2、特征频率fT 3、带宽和上升时间乘积 4、理想方波 5、开路（短路）时间常数法 6、级联系统的带宽计算和优值 7、带宽提升方法
Part5
------开始前，一些闲扯--------------------------------------------------- 开（短）路时间常数的方法，自从学完专业课后就几乎没用过。一来是两种方法概念和处理方式的对应关系容易混淆，过不了多久就忘了。二来里边涉及小信号模型的一堆的计算，想想就头大。对于我这种患有“懒癌”的手残党，真的是，方法再好也会束之高阁，碰都不想碰。正因为如此，就成了追（被）求（逼）上（无）进（奈）的好学生的心中的一块病。所以还是趁着这次总结的机会，回过头来再仔细的学习思考下。不敢保证理解的完全正确，算是抛砖引玉吧，希望有理解比较透彻的读者现身说法，多谢啦。 ------闲扯完，咳咳，搬好小板凳，拿出小本本，开始上课了~ -----
尽管开（短）路时间常数法【Open (Short) Circuit Time Constant Method】只是一种近似估算高低频-3dB 带宽的方法，计算的结果可能会有比较大的误差，但其通过时间常数τ，非常直观的给出了电路节点中带宽的限制因素，对于电路设计者能够定性地提供了优化的思路和方向。正因为如此，我们会忽略它在定量估计上的局限。显然，各种各样的仿真器却给不了宝贵的指导意见。 如图1，从用途上，两种方法分别用于计算不同的-3dB带宽点。
图1 为了从根源上解除我的疑惑，我特地拜读了Gray & Searle于1969年出版的老古董教材《ELECTRONIC PRINCIPLES Physics, Models, and Circuits》p531~p535，现将其推导思路外加我的一些理解描述如下，感兴趣的读者也可以自己去翻看原书。 对于如图2的不含储能元件的线性双端口网络（内部如包含独立源，需置0）。可以用Y参数二端口网络表示。可以得到不同端口的开（短）路电阻的定义式。这也是我们在使用这两种方式计算时间常数时，电阻计算，需对其他电容的处理方式的源头。
图2
考虑端口电容时，其行列式Δy等于零（书中对这点的解释我还没有完全理解），对应的不同阶系数有图3所示的关系。重点关注一次项常数项系数比，次高阶和最高阶项系数比与定义的开（短）路时间常数的关系。
图3 下面主要考虑高低频-3dB带宽的估算值ωh是怎样联系起来的，如图4。
图4
对于这两种方法的计算可以参考gray和Lee的教材中的例子，这里就不列举了。最后给出个简单的对比结果，如图5。
图5 最后需要纠正的一个概念误区就是，“计算的的每一个时间常数都会对应一个实际极点”，实际上在推导中我们也看到了，这里只有时间常数的和倒数或者倒数和与-3dB带宽比较接近的联系，并没有必须和实际极点对应的关系。
Part6 先来考虑一个问题，两个单极点
系统级联后的-3dB带宽和两个极点的位置关系是什么样的？
如图6所示，假设第一级的主极点为f1，第二级的主极点频率为kf1，假设k大于等于1。级联后整体系统的-3dB带宽频率可以根据公式计算出，如图7所示。
图6 当k=1时，相当于相同带宽的两级级联，总带宽约为原先的64.36%；而如果级联两级中，次极点频率是主极点频率的k=10倍时，级联总带宽是主极点的99.02%，也就是次极点对级联系统的带宽影响可以忽略不计。
图7 在Lee的《CMOS射频集成电路设计》的9.7章，看到了，级联系统带宽最大化时，单级最优增益为e^0.5＝1.64，但很多时候我们会更加关注功耗表现，那么最低功耗的实现级数是多少那？ 比如要设计一个驱动最大100fF（总负载电容）的高速放大器，如图8所示结构。直流增益为40dB，-3dB带宽为10GHz。 首先考虑如果用单级来实现，即N=1。则根据增益带宽积和负载电容，可以得到输入对管的跨导Gm=2pi*Ctot*GBW=628mS。这里假设对管工作在功耗和性能的均衡点（Gm/id≈10），可以估算总功耗Itot约为2*Gm/10=125.6mA。为满足直流增益Adc，负载电阻RL值约为159 Ohms。 可以看到，需要125.6mA的功耗，输入对管的器件尺寸会贡献不小的负载电容，导致有效驱动的下级电容负载有限。这会是最优的结果吗？那我们考虑下使用多级级联实现的情况。这里为方便计算，假设单级的负载电容和最后负载相同都为Ctot，这样每一级的传输函数是相同的。
图8 考虑如果用2级级联实现，单级增益只需20dB，-3dB带宽只需15.5GHz（15.5*0.64≈10）。同样可以根据GBW得到跨导Gm=98mS。单级尾电流Itail=19.6mA。两级总功耗为39.1mA。比用单级实现总功耗降低了约70%。 同样，如图9所示，当级数N增加时，存在优值3使总体功耗最小。设计中N取2~4都是比较合适的。
图9 应用Lee关于级联带宽最大化的结论，单级最优增益1.64倍对应需要9.2级，按照9级算。每级带宽约为60GHz，GBW约为98GHz，总电流约为12mA总功耗约为108mA。从总功耗角度看，级数为9并非优值。
Part7 在模拟和射频中，对于高频信号的处理，总会希望放大电路能够有足够高的带宽。其中最常用到的方法就是通过引入电感并利用LC的谐振。 先看一个简单的基于电感并联峰化（shunt peaking）技术的共源放大电路，如图10，里边定义了RC带宽ω0
，参数m，归一化频率x=ω/ω0。 直观来看，在频率ω0
处，负载电容C和R阻抗相等，并联总阻抗为0.707R。当增加电感L后，电感之路阻抗大于等于R（意味着存在增益峰值），因此需要在高于频率ω0
处容抗小于R，才能保证并联阻抗总阻抗为0.707R。
图10 当电感值为0时，m→∞，近似为RC负载；当电感值L=∞，m→0，近似为LC负载。图11所示的并联谐振在不同m取值处的幅频参数曲面及幅度为0.707平面。x轴为归一化对数坐标ω/ω0，y轴为线性坐标参数m，z轴为归一化线性坐标幅度Mag。图中红色的等高线分别为1和0.707。
图11
可以看到，当m很小时，频域幅度会有很高的尖峰，且带宽趋近于最小值1.414倍。尽管对于大多数放大器不希望出现频域增益的过冲，但在一些场合比如均衡信道损失的线性均衡器，就会利用到谐振峰值前一段的增益提升效果。 随着m增加，带宽会先增大后减小并稳定到ω0。不同的电感L取值，可以得到最大带宽，最佳群延时，最大平坦带宽，实际应用中根据需要最大可以达到1.85倍的带宽拓展效果。 同样考虑图12中的串联谐振。同样对于定义的参数m取不同值有图13的幅频参数曲面。
图12
对串联谐振，当m从0增大到∞过程中，带宽从0增大到1.41倍最大值最终稳定在ω0处。
图13 最后再考虑稍微复杂的三谐振（Tripple Resonance）结构，如图14。这里定义了输出节点电容比例参数p，电感比例k。可以看到传函包含了1个零点，4个极点。
图14 图15给出了固定参数p=0.5（输出节点和电感tap节点电容相等），k=1（并联和串联电感相等）条件下的幅频参数曲面。 可以看到m存在一个优值区间，能够使带宽达到3~5倍。带宽拓展效果比较明显。
图15 当然实际的金属线圈电感的Q值有限，可能会导致实际带宽拓展效果比上述模型的理论值要小。需要在实际应用中对电感进行更详细的建模进行仿真验证。
除了上面的模型，还有T-coil结构的模型，使用有源电感和零点补偿的方式拓展带宽，限于篇幅，有机会再详细分析。
希望通过这两期【带宽（上）】内容，大家能够增强大家对与带宽的相关关的概念的有更多理解和收获。下期见啦~ | 
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发表于 2018-11-4 10:01:32
